Розглянемо важливий додатків випадок плоского напруженого стану, реалізованого, наприклад, у площині Oyz.Тензор напруг у цьому випадку має вигляд

Геометрична ілюстрація представлена ​​на рис.1. При цьому майданчики х= const є головними з відповідними нульовими головними напругами. Інваріанти тензора напруги рівні , а характеристичне рівняння набуває вигляду

Коріння цього рівняння дорівнює

Нумерація коренів зроблена для випадку

Рис.1.Початковий плоский напружений стан.

Рис.2.Позиція головних напруг

Довільний майданчик характеризується кутом на рис. 1, при цьому вектор пмає компоненти: , , n х = 0. Нормальна та дотична напруга на похилому майданчику виражаються через кут наступним чином:

Найменший позитивний корінь рівняння (4) позначимо через . Оскільки tg( х)¦періодична функція з періодом , то маємо два взаємно ортогональні напрямки, складові кути і з віссю Оу.Ці напрями відповідають взаємно перпендикулярним головним майданчикам (рис. 2).

Якщо продиференціювати співвідношення (2) і прирівняти похідну нулю, то прийдемо до рівняння (4), що доводить екстремальність основних напруг.

Для знаходження орієнтації майданчиків з екстремальною дотичною напругою прирівняємо похідну нулю від виразу

звідки отримаємо

Порівнюючи співвідношення (4) і (5), знаходимо, що

Ця рівність можлива, якщо кути і відрізняються на кут . Отже, напрямки майданчиків з екстремальною дотичною напругою відрізняються від напрямків головних майданчиків на кут (рис. 3).

Рис.3.Екстремальність дотичних напруг

Величини екстремальних дотичних напруг отримаємо після підстановки (5) у співвідношення (3) з використанням формул

.

Після деяких перетворень отримаємо

Порівнюючи цей вираз з отриманими раніше значеннями головної напруги (2.21), виразимо екстремальні дотичні напруги через головні напруги

Аналогічна підстановка (2) призводить до виразу для нормальних напруг на майданчиках з

Отримані співвідношення дозволяють проводити спрямовано орієнтований розрахунок конструкцій на міцність у разі плоского напруженого стану.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦІЇ

Розглянемо спочатку випадок плоскої деформації (рис. 4). Нехай плоский елемент MNPQпереміщається в межах площини та деформується (змінює форму та розміри). Координати точок елемента до і після деформації зазначені малюнку.

Рис.4.Плоска деформація.

За визначенням відносна лінійна деформація у точці Му напрямку осі Охдорівнює

З рис. 4 слід

Враховуючи що MN=dx,отримаємо

У разі малих деформацій, коли , , можна знехтувати квадратичними доданками. З урахуванням наближеного співвідношення

справедливого при x<<1, окончательно для малой деформации получим

Кутова деформація визначається як сума кутів та (4). У разі малих деформацій

Для кутової деформації маємо

Проводячи аналогічні викладки у випадку тривимірної деформації, маємо дев'ять співвідношень

Цей тензор повністю визначає деформований стан твердого тіла. Він має ті ж властивості, що і тензор напруг. Властивість симетрії безпосередньо випливає із визначення кутових деформацій. Головні значення та головні напрями, а також екстремальні значення кутових деформацій та відповідні їм напрямки знаходяться тими самими методами, що й для тензора напруги.

Інваріанти тензора деформацій визначаються аналогічними формулами, причому перший інваріант тензора малих деформацій має ясний фізичний зміст. До деформації його обсяг дорівнює dV 0 = dxdydz.Якщо знехтувати деформаціями зсуву, які змінюють форму, а не об'єм, то після деформації ребра матимуть розміри

(рис. 4), а його обсяг дорівнюватиме

Відносна зміна обсягу

у межах малих деформацій складе

що збігається з визначенням першого інваріанту. Вочевидь, зміна обсягу є фізична величина, яка залежить від вибору системи координат.

Так само, як і тензор напруги, тензор деформацій можна розкласти на кульовий тензор і девіатор. У цьому перший інваріант девіатора дорівнює нулю, тобто. Девіатор характеризує деформацію тіла без зміни його об'єму.

При плоскому напруженому стані в одному з майданчиків, що проходять через точку, дотичні і нормальні напруги дорівнюють нулю. Сумісний цей майданчик з площиною креслення і виділимо з тіла в околиці цієї точки нескінченно малу (елементарну) трикутну призму, бічні грані якої перпендикулярні до площини креслення, а висота (в напрямку, перпендикулярному до площини креслення) дорівнює основи призми є прямокутними. 2.3, а).

Прикладімо до виділеної призми ті ж напруги, які діяли на неї до виділення її з тіла. У зв'язку з тим, що всі розміри виділеної призми нескінченно малі, дотичні та нормальні напруги по її бокових гранях можна вважати розподіленими рівномірно та рівними напругам у майданчиках, що проходять паралельно її граням.

Виберемо систему координат, поєднавши осі та у (у площині креслення) з гранями призми (рис. 2.3, а). Позначимо напруги, паралельні осі та - осі у.

Нормальні напруги по бічній грані призми, нахиленої під кутом а до грані, по якій діють напруги позначимо

Приймемо таке правило символів. Розтягує нормальну напругу позитивно, а стискає - негативно. Стосовно напруга по бічній грані призми позитивно, якщо зображує вектор прагне обертати призму за годинниковою стрілкою відносно будь-якої точки, що лежить на внутрішній нормалі до цієї грані. Кут позитивний, якщо грань призми (по якій діє напруга) для суміщення з гранню (по якій діє напруга) повертається на цей кут проти годинникової стрілки. На рис. 2.3, а всі напруги, а також кут позитивні.

Помноживши кожну з напруг на площу грані, за якою вона діє, отримаємо систему зосереджених сил Ту і Та, прикладених у центрах ваги відповідних граней (рис. 2.3, б):

Ці сили повинні задовольняти всі рівняння рівноваги, оскільки призма, виділена з тіла, знаходиться в рівновазі.

Складемо наступні рівняння рівноваги:

До рівняння (4.3) сили не входять, оскільки лінії їхньої дії проходять через точку (початок системи координат ).

Підставивши в рівняння (4.3) вирази та Ту з рівностей (1.3), отримаємо

Отже, дотичні напруги за двома взаємно перпендикулярними майданчиками рівні за абсолютною величиною і обернені за знаком. Цей зв'язок між називається законом парності дотичних напруг.

З закону парності дотичних напруг випливає, що у двох взаємно перпендикулярних майданчиках дотичні напруги спрямовані або лінії перетину цих майданчиків (рис. 3.3, а), або від неї (рис. 3.3, б).

Підставимо в рівняння (2.3) та (3.3) вирази сил з рівностей (1.3):

Скоротимо ці рівняння на , враховуючи при цьому, що (див. рис. 2.3, а):

Тепер замінимо на [див. формулу (5.3)]:

Формули (6.3) і (7.3) дозволяють визначати значення нормальних і дотичних напруг у будь-яких майданчиках, що проходять через дану точку, якщо відомі напруги в будь-яких двох проходять через неї взаємно перпендикулярних майданчиках.

Визначимо за формулою (6.3) суму нормальних напруг у двох взаємно перпендикулярних майданчиках, для одного з яких кут дорівнює для іншої

т. е. сума величин нормальних напруг у двох взаємно перпендикулярних майданчиках є постійна величина. Отже, якщо в одному з таких майданчиків нормальні напруги мають максимальне значення, то в іншому вони мають мінімальне значення.

При дослідженні напруженого стану спочатку визначають напруги по трьох взаємно перпендикулярних майданчиках, що проходять через точку тіла, що розглядається.

Якщо один із цих майданчиків виявляється вільним від напрузі, то напружений стан є плоским. Нескінченно малий елемент у формі паралелепіпеда, виділений із тіла зазначеними трьома майданчиками та трьома іншими, ним паралельними, показаний на рис. 4.3, с. Його прийнято зображати у вигляді прямокутника (або квадрата), що є проекцією елемента на площину, що збігається з майданчиком, вільним від напруг (рис. 4.3,б). Значення напруги достатньо вказувати на двох взаємно перпендикулярних бічних гранях паралелепіпеда.

Якщо потрібно показати напруги, що виникають не в одній парі взаємно перпендикулярних майданчиків, що проходять через дану точку, а в кількох, то відповідні прямокутники (або квадрати) можуть зображуватись, як це, наприклад, показано на рис. 4.3 ст.

За напругою у двох взаємно перпендикулярних майданчиках можна обчислити [за допомогою формул (6.3) та (7.3)] напруги у будь-яких майданчиках; тому малюнок (наприклад, 4.3, б, в), на якому показані ці напруження, можна розглядати як зображення напруженого стану в точці.

Будь-який напружений стан можна як суму кількох напружених станів (принцип накладання напруг). Так, наприклад, напружений стан, показаний на рис. 5.3, а можна розглядати як суму напружених станів, зображених на рис. 5.3, б, ст.

Дія відкинутої частини на решту поблизу точки B буде представлена ​​напругами нагадуємо, що перший індекс для дотичних напруг відповідає осі нормальної до перерізу другої осі паралельно якій спрямовано дотичну напругу. Напруги в похилих перерізах Поставимо завдання: Визначити напруги в довільному перерізі, що проходить через задану точку B плити.

Поділіться роботою у соціальних мережах

Якщо ця робота Вам не підійшла внизу сторінки, є список схожих робіт. Також Ви можете скористатися кнопкою пошук

Плоский напружений стан

Напружений станколи нормальні напруження виникають як у напрямку осі Х, так і осі Y (наприклад, у тонкостінних судинах навантажених зовнішнім тиском). А в перерізах, перпендикулярних до осей X та Y діють дотичні напруги (у балках при вигині) називаєтьсяплоским (двохосним) напруженим станом.

Покажемо, що в плоскому напруженому стані знаходиться, наприклад, плита (або пластина) довільної форми з малою товщиною в порівнянні з іншими розмірами. По контуру плити діє будь-яка взаємно врівноважена система зовнішніх сил, рівномірно розподілених по товщині і паралельних серединному шару. Внаслідок небагато зміною напруг у напрямку, перпендикулярному до зовнішніх площин плити, можна знехтувати. У той самий час, т.к. зовнішні сили на зовнішніх площинах відсутні, то будь-якому елементарному майданчику цих поверхонь зусиль і напруг дорівнюють нулю, а отже, вони дорівнюють нулю, і для всіх перерізів, паралельних цим поверхням. Ці перерізи є головними, тому в даному випадку одна з головних напруг дорівнює нулю.

Віднесемо тіло до координатних осей XOY розташований у площині серединного шару. Подумки розсічемо плиту (пластину) перерізами I та II , перпендикулярними осям X та Y . Дія відкинутої частини на решту поблизу точки B буде представлено напругами (нагадуємо, що перший індекс для дотичних напруг відповідає осі нормальної до перерізу, другий-осі паралельно якій спрямована дотична напруга). Таким чином, у загальному випадку поблизу довільної точки плити створюється плоский напружений стан, при якому.

Напруження в похилих перерізах

Поставимо завдання: Визначити напругу в довільному перерізі, що проходить через задану точку B плити.

Для цього проведемо перетин III нескінченно близько від крапки B . Повна напруга в цьому перерізі можна вважати рівною повній напругі в перерізі, що проходить через точку B. Положення перерізу визначається кутом, який складає з віссю X нормаль N до перерізу.

Подумки виділимо з плити трикутну пластину BCD що знаходиться, як і все тіло в рівновазі. У виду нескінченно малих розмірів пластинки вважаємо напруги рівномірно розподіленими по граням. Тоді рівнодіюча сил, що діють на кожну грань пластинки, може обчислюватися, як добуток напруги на площу відповідної грані та буде додана до центру тяжіння грані. Помістимо початок координат у точці -центр тяжкості грані CD.

Вважаємо, що напруга відома. Знайдемо - складові повної напруги S по координатних осях, а також нормальні та дотичні напруги на межі CD . Складаємо рівняння рівноваги:

1. Суму моментів щодо точки

Після скорочення отримаємо

(1)

Цей результат висловлює умову рівноваги дотичних сил у взаємно перпендикулярних перерізах у безпосередній близькості прямого кута, дотичні напруги мають рівні модулі і спрямовані до вершини прямого кута (або від вершини, коли спрямовані в сторони, протилежні показаним на малюнку).

Позначимо, тоді, де, - спрямовують косинуси.

Рівняння проекції

Після скорочення на A

(2)

Знайдемо нормальну та дотичну компоненти повної напруги

Враховуючи, що отримаємо

(3)

Можна показати, що:

• - у взаємно перпендикулярних перерізах сума нормальних напруг постійна, а модулі дотичних напруг рівні;
• - у паралельних перерізах нормальні та дотичні напруги рівні по модулю та знаку.

Правила знаків:

• позитивні:

Нормальні напруги, якщо розтягують;

Дотичні напруги, якщо створюють обертання елемента BCD щодо точки всередині нього проти годинникової стрілки, а -за годинниковою стрілкою.

Головні напруги та перерізи

Перерізи називаються головними, якщо:

• нормальні напруги досягають екстремальних значень;
• дотичні напруги відсутні (рівні нулю).

При цьому, якою з ознак користуватися – байдуже, одна з них завжди може бути представлена ​​як наслідок іншої.

Визначимо положення головних перерізів за другою ознакою, вважаючи, що перетин CD головне, тобто. , а отже

, (а)

Підставивши (а) у (2) отримаємо

(4)

Тут - визначають становище грані CD коли вона стає головним перетином. Система (4) щодо невідомих є однорідною і має рішення відмінне від нуля, тільки коли визначник системи (4) дорівнює нулю (теорема Руше), тобто.

(5)

У розгорнутому вигляді, а після перетворень

(6)

Вирішуючи квадратне рівняння, знаходимо модулі головної напруги

Звідки

(7)

Обидва кореня (7) рівняння (6) є речовими, вони дають значення двох головних напруг і, а третє як зазначалося раніше, у плоскому випадку напруженого стану дорівнюють нулю. Якщо, то, відповідно до умови, отримаємо, .

Основні напруги, тобто. коріння рівняння (6) визначаються характером напруженого стану, і не залежить, від того яка система координатних осей була прийнята як вихідна. Отже, при повороті осей X, Y коефіцієнти та рівняння (6) повинні залишатися незмінними (що). Тому називаються інваріантами напруженого стану.

Знайдемо напрямок головної напруги, або - напрямні косинуси, що визначають положення головних перерізів, вважаючи і обчисленими з виразів (7).

Для цього є система рівнянь (5), але вона однорідна і коріння її, відмінне від нуля, визначити неможливо. З курсу тригонометрії відомо

(8)

(В)

то отримаємо систему рівнянь (8) і (в) неоднорідну та певну, вирішуючи яку і встановимо становище основних перерізів.

Підставивши в (в) спочатку будемо мати

(с)

Косинуси кутів, які складає з координатними осями X та Y нормаль до першого головного перерізу, що та сама головна напруга.

Вирішуючи систему рівняння (с) отримаємо

(9)

Таким же чином, підставивши (в)

(10)

В (9) і (10) - кути, що відміряються обертанням проти ходу годинникової стрілки від осі. X до нормалей до перерізів, у яких діють відповідно головні напруги та.

Встановимо становище головних перерізів по відношенню один до одного. Для цього перемножимо почленно рівняння (9) і (10)

(d)

При підстановці ( d ) значень та з (7) після перетворень приходимо до наступного виразу

(е)

Т.к. , То можна написати. Значить

Звідси випливає, що головні перерізи взаємно перпендикулярні, а (9)), (10)

Зауважимо, що склавши обидва рядки формули (7), матимемо -у взаємно перпендикулярних перерізах сума нормальних напруг постійна.

Головні деформації

Визначимо деформації у напрямі основних напруг. І тому подумки виділимо з тіла, що у плоскому напруженому стані прямокутний елемент, грані якого паралельні головним перерізам. Т.к. по граням діють лише нормальні напруги, то напрями головних напруг збігатиметься з деформаціями, званими головними. Використовуючи формули узагальненого закону Гука та вважаючи, отримаємо

(11)

Екстремальна дотична напруга

Припустимо, що по гранях BC та BD трикутної платівки BCD діють головні напруги та. Тоді і вирази (3) набудуть вигляду

(k)

(m)

Досліджуємо функцію ( m ) на екстремум, виходячи з умови існування. Диференціюємо ( m) по.

У загальному випадку, отже ( s).

Значок при поставлено для того, щоб відрізнити коріння рівняння ( s ), що визначають положення перерізів, у яких досягає екстремальних значень, від коренів рівнянь (9), (10) визначальних положення головних перерізів.

Рівняння (s ) у межах має два корені, що відрізняються один від одного на і, звідки отримуємо.

Т.о. перерізи в яких дотичні напруги досягають найбільшого абсолютного значення, розташовуються під кутом до головних перерізів. Ці перерізи також взаємно перпендикулярні.

При і вираз (k 0 набуває вигляду

(12)

У цих же перерізах

або (13)

На малюнку й надалі відлік кутів ведеться від осі (2 або 3), що збігається у напрямку з найменшою з головних напруг (або). Тоді, відповідно до викладеного, під кутом до цієї осі розташовується нормаль до перерізу с, а під кутом - с. На гранях платівки abcd крім дотичних напруг можуть бути і нормальні, що визначаються за формулою (13). Зауважимо, що завжди більше нуля і тому має напрямок, при якому створює обертання елемента abcd щодо будь-якої точки всередині нього проти годинникової стрілки, -за годинниковою стрілкою. У загальному випадку плоского напруженого стану, коли задані не головні напруги, а і екстремальні модулі можна визначити за формулою

(14)

які отримані при підстановці (7) (12).

Питома потенційна енергія

При розтягуванні (стисканні) зовнішні сили здійснюють роботу внаслідок переміщення точок їх застосування та викликають деформації матеріалу. При деформації виконують роботу та внутрішні сили пружності. Відомо, що енергія, накопичена тілом при деформації, називається потенційною енергією деформації, а величина цієї енергії, віднесена до одиниці обсягу матеріалу питомою потенційною енергією. При центральному розтягуванні (стисканні) обчислювали з виразу. У плоскому напруженому стані питома потенційна енергія деформації вийде як сума двох доданків

Т.к. і тоді

(15)

Інші схожі роботи, які можуть вас зацікавити.
6543.		Об'ємний (просторовий) напружений стан	228.62 KB
	Сукупність напруг, що виникають у безлічі перерізів, що проходять через точку, що розглядається, називається напруженим станом поблизу точки. Дослідження законів зміни напруги поблизу точки не є чисто абстрактним. Після скорочень отримуємо...
6011.		Технічний стан автомобіля	126.23 KB
	Воно буває: Справний стан автомобіля - це стан, при якому він відповідає всім вимогам технічних умов та конструкторської документації. Несправний стан можна розділити на: Працездатний стан автомобіля це такий стан при якому він здатний виконувати певну роботу з параметрами зазначеними в його технічній характеристиці. Граничний стан автомобіля агрегату або деталі - це такий стан, при якому їх експлуатувати далі неприпустимо.
8472.		Рідкий стан речовини	230.17 KB
	Потенційна енергія молекули всередині рідини менша ніж поза рідиною. Результуюча сила всередині рідини дорівнює 0. На весь шар, що лежить у поверхні рідини, діють сили спрямовані нормально всередину рідини. Маса рідини, на яку не діють зовнішні сили, повинна прийняти сферичну форму.
12293.		Шлюб як правовий стан	62.92 KB
	Виникнення стану шлюбу: поняття та форма шлюбу в російському сімейному законодавстві. Правові наслідки наявності та припинення шлюбу як правового стану. Правові наслідки укладання шлюбу. Правові наслідки припинення шлюбу.
9441.		ТЕХНІЧНИЙ СТАН МАШИН І ЙОГО ОЦІНКА	109.07 KB
	Важлива стадія життєвого циклу експлуатація яка включає транспортування монтаж та демонтаж використання за призначенням технічне обслуговування ремонт та зберігання машини. Технічним станом машини обладнання називають сукупність її властивостей схильних до зміни в процесі виробництва та експлуатації та характеризуються в певний момент часу ознаками встановленими технічною документацією. Найважливішими в життєвому циклі будь-якої машини є етапи виробництва та експлуатації на яких здійснюються...
7608.		Стан ринку землі в Росії	67.95 KB
	Проблема вдосконалення правового регулювання земельних відносин у Росії останнім часом стала однією з найактуальніших, і широко обговорюється не лише серед юристів, законодавців та політиків, а й у суспільстві загалом. Думки сторін, що беруть участь в обговоренні, іноді суперечливі
18050.		Фінансовий стан санаторію «Джайлау»	114.75 KB
	Численні підприємства та організації, які розпочали свою діяльність ще до кризи, а також ризикнули розпочати діяльність відразу після неї відчули на собі всю тяжкість буття в умовах нестабільної кризової обстановки. Багато підприємств збанкрутували закрилися припинили свою діяльність перекваліфікувалися на інший вид діяльності більш затребуваний на ринку. Якщо звернеться до становлення діяльності і сьогодні існуючих підприємств та організацій, які сьогодні можуть скласти конкуренцію розвиненим західним...
9975.		Фінансовий стан підприємства ТОВ «Схід»	204.18 KB
	Важлива роль реалізації цього завдання відводиться аналізу фінансового становища підприємства. З його допомогою виробляється стратегія та тактика розвитку підприємства обґрунтовуються плани та управлінські рішення здійснюється контроль за їх виконанням виявляються шляхи підвищення ефективності комерційної діяльності а також оцінюються результати діяльності підприємства його підрозділів та працівників. Фінанси підприємства готельного комплексу є важливим складником фінансової системи. Вхідні у фінанси підприємств готельного...
18527.		Страхування в Казахстані - стан та перспективи	98 KB
	Становлення та розвитку інституту страхування Республіка Казахстан. Основні поняття страхового ринку Республіка Казахстан. Правова характеристика окремих видів страхування. Поняття та ознаки договору страхування.
4941.		Стан та шляхи вдосконалення СКД у музеї	244.26 KB
	Теоретичні аспекти організації СКД музею засобами інформаційно-просвітницьких методик. Стан проблеми організації соціально-культурної діяльності музею. Характеристика інформаційно-просвітницьких методик у процесі організації соціально-культурної діяльності музею...

Плоский напружений стан (σ z = 0; 0)

Плоска пластина навантажена у її площині (рис.2.13, а). Товщина її дуже мала в порівнянні з розмірами а і с. Якщо виділити елемент з розмірами dх, dy і δ у будь-якій точці пластини, то на його гранях виникнуть напруги σ х, σ y , τ xy та τ yx (рис.2.13, б).

На бічних гранях цього елемента напруги відсутні: z = 0; τ zx =0; τ zy = 0, і ми маємо плоский напружений стан тіла, тобто дві паралельні грані нескінченно малого елемента, виділеного в будь-якій точці тіла, вільні від напруги. Напруги х, σ y, τ xy і τ yx рівномірно розподілені по товщині пластини.

Рисунок 2.13 – Схема визначення плоского напруженого стану

При плоскому напруженому стані у кожній точці змінюється товщина пластини. Деформація у напрямку осі Z згідно із законом Гука дорівнює:

Товщина пластини у кожній точці внаслідок поперечної деформації змінюється на величину δ = z δ = - (σ x + σ y).

Плоска деформація(z = 0; σ z 0)

Маємо дуже довге циліндричне тіло, рівномірно навантажене по всій довжині (рис.2.14, а). Подумки розсічемо це тіло на окремі шари завтовшки δ=1. Якби ці шари відчували плоский напружений стан, то в кожній точці пластини товщина змінювалася б на величину Δδ. Але в результаті протидії сусідніх шарів це неможливо, тому кожен шар деформується в умовах (рис.2.14, б), де він як би затиснутий між двома абсолютно твердими поверхнями, що примусово забезпечують умови незмінності товщини шару

Δδ = 0. При цьому переміщення у всіх точках тіла відбувається лише у паралельних площинах XY (див. рис.2.14, б). Оскільки переміщення W, U, V щодо осі Z відсутні, маємо:

Малюнок 2.14 – Схема визначення плоскої деформації

Це і є пласка деформація. За законом Гука маємо:

Z = (σ z - μσ x - μσ y) / E = 0 .

У місцях, де пластина повинна була потовщуватися, з'являться стискаючі напруги σ z , а в місцях можливого потонання - напруги σ z, що розтягують (рис.2.14, в) В обох випадках

Якщо всі вектори напруг паралельні до однієї і тієї ж площини, напружений стан називається плоским (рис. 1). Інакше: напружений стан є плоским, якщо одна з трьох головних напруг дорівнює нулю.

Малюнок 1.

Плоский напружений стан реалізується в пластині, навантаженій за її контуром силами, рівнодіючі яких розташовані в її серединній площині (серединна площина - площина, що ділить навпіл товщину пластини).

Напрями напруги на рис. 1 прийнято за позитивні. Кут α позитивний, якщо він відкладається від осі х до осі у. На майданчику з нормаллю n:

Нормальна напруга n позитивно, якщо вона розтягує. Позитивне напруження показано на рис. 1. Правило знаків для за формулою (1) те саме, що для напруг за формулою (1).

Це правило знаків відноситься до похилих майданчиків. у статті "Об'ємний напружений стан" сформульовано правило знаків для компонентів напруги у точці, т. е. напруги на майданчиках, перпендикулярних осям координат. Це правило символів прийнято теорії пружності.

Головні напруги на майданчиках, перпендикулярних до площини напруг:

(Оскільки тут розглядаються лише дві головні напруги, вони позначені через σ 1 і σ 2 , хоча може виявитися, що σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Ці напруги діють на майданчиках, розташованих під кутом 45° до першого та другого головних майданчиків.

Якщо головна напруга σ 1 і σ 2 мають однаковий знак, то найбільша дотична напруга діє на майданчику, розташованому під кутом 45° до площини напруг (площини ху). В цьому випадку:

У стінці балки (тут мається на увазі звичайна балка, а не балка-стінка) при її згинанні силами реалізується окремий випадок плоского напруженого стану. У стінках балки одна з нормальних напруг σ y дорівнює нулю. У цьому випадку напруги вийдуть за формулами (1), (2) та (4), якщо в цих формулах покласти σ y =0. Положення першого головного майданчика визначається формулою (3).

РОЗТЯГ ПО ДВОМ НАПРЯМКАХ(Рис 2).