Төрөл бүрийн хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхдээ квадрат хэлбэрийг судлах шаардлагатай байдаг.

Тодорхойлолт. n хувьсагчийн квадрат хэлбэр L(, x 2, ..., x n) нь нийлбэр бөгөөд гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр юм.

L( ,x 2 ,...,x n) =

Квадрат хэлбэрийн коэффициентүүд нь бодит тоо гэж бид таамаглаж байна, ба

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх A = () (i, j = 1, 2, ..., n) матрицыг квадрат хэлбэрийн матриц гэнэ.

Матрицын тэмдэглэгээнд квадрат хэлбэр нь дараах хэлбэртэй байна: L = X"AX, энд X = (x 1, x 2,..., x n)" - матриц-хувьсагчийн багана.

Жишээ 8.1

L( , x 2 , x 3) квадрат хэлбэрийг бич. = матриц хэлбэрээр.

Квадрат хэлбэрийн матрицыг олъё. Түүний диагональ элементүүд нь квадрат хувьсагчийн коэффициентүүдтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. 4, 1, -3 болон бусад элементүүд - квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагас хүртэл. Тийм ч учраас

L=( , x 2 , x 3) .

Х = CY гэсэн доройтдоггүй шугаман хувиргалтаар квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: A * = C "AC. (*)

Жишээ 8.2

L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3 квадрат хэлбэр өгөгдсөн. Өгөгдсөн шугаман хувиргалтаас авсан L(y 1 ,y 2) квадрат хэлбэрийг олоорой = 2у 1 - 3y 2 , x 2 = y 1 + y 2.

Өгөгдсөн квадрат хэлбэрийн матриц нь A=, шугаман хувиргах матриц нь байна

C =. Тиймээс дагуу (*) шаардлагатай квадрат хэлбэрийн матриц

Мөн квадрат хэлбэр нь иймэрхүү харагдаж байна

L(y 1, y 2) = .

Зарим сайн сонгосон шугаман хувиргалтын тусламжтайгаар квадрат хэлбэрийн хэлбэрийг ихээхэн хялбарчилж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Тодорхойлолт. L( ,x 2 ,...,x n) = квадрат хэлбэрийг i¹j-ийн бүх коэффициент нь = 0 бол каноник (эсвэл канон хэлбэртэй) гэж нэрлэдэг:

L= , түүний матриц нь диагональ юм.

Дараах теорем үнэн.

Теорем.Аливаа квадрат хэлбэрийг хувьсагчийн доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээ 8.3

Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруул

L( , x 2 , x 3) =

Нэгдүгээрт, бид квадратын коэффициент нь тэгээс ялгаатай хувьсагчийн бүрэн квадратыг сонгоно.

Одоо бид коэффициент нь тэгээс ялгаатай хувьсагчийн төгс квадратыг сонгоно.

Тиймээс доройтдоггүй шугаман хувиргалт

Энэ квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулдаг:

Ижил квадрат хэлбэрийг олон янзаар каноник хэлбэр болгон бууруулж болох тул квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь өвөрмөц тодорхойлогддоггүй. Гэсэн хэдий ч янз бүрийн аргаар олж авсан каноник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн нийтлэг шинж чанартай байдаг. Эдгээр шинж чанаруудын аль нэгийг теорем болгон томъёолъё.

Теорем (квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль).Квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаарахгүй.

Квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл нь каноник хэлбэрийн тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоотой тэнцүү бөгөөд шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Тодорхойлолт. L(, x 2, ..., x n) квадрат хэлбэрийг эерэг (сөрөг) тодорхой гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв хувьсагчдын бүх утгуудын хувьд ядаж нэг нь тэгээс өөр байвал,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Тэгэхээр, Жишээлбэл, квадрат хэлбэр эерэг тодорхой, хэлбэр нь сөрөг тодорхой байна.

Теорем. L = X"AX квадрат хэлбэр эерэг (сөрөг) тодорхой байхын тулд А матрицын бүх хувийн утга эерэг (сөрөг) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт. Квадрат хэлбэрийн матриц. Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр. Лагранжийн арга. Квадрат хэлбэрийн ердийн дүр төрх. Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, индекс, гарын үсэг. Эерэг тодорхой квадрат хэлбэр. Квадрикс.

Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт:векторын координат дахь хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн олон гишүүнтээр тодорхойлогдсон вектор орон зайн функц.

-аас квадрат хэлбэр nүл мэдэгдэх нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд гишүүн бүр нь эдгээр үл мэдэгдэхийн аль нэгнийх нь квадрат эсвэл хоёр өөр үл мэдэгдэх үржвэр юм.

Квадрат матриц:Матрицыг өгөгдсөн үндсэн дээр квадрат хэлбэрийн матриц гэж нэрлэдэг. Хэрэв талбайн шинж чанар нь 2-той тэнцүү биш бол квадрат хэлбэрийн матрицыг тэгш хэмтэй гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл.

Квадрат хэлбэрийн матрицыг бичнэ үү:

Тиймээс,

Вектор матрицын хувьд квадрат хэлбэр нь:

А, хаана

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр:Хэрэв бүх бол квадрат хэлбэрийг каноник гэж нэрлэдэг өөрөөр хэлбэл

Аливаа квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно. Практикт дараах аргуудыг ихэвчлэн ашигладаг.

Лагранжийн арга : бүрэн квадратуудын дараалсан сонголт. Жишээлбэл, хэрэв

Дараа нь ижил төстэй процедурыг квадрат хэлбэрээр гүйцэтгэдэг гэх мэт Хэрэв квадрат хэлбэрээр бүх зүйл харин дараа нь урьдчилсан хувиргалт хийсний дараа асуудал авч үзсэн журамд шилжинэ. Тиймээс, жишээ нь, хэрэв бид таамаглаж байна

Квадрат хэлбэрийн хэвийн хэлбэр:Энгийн квадрат хэлбэр нь бүх коэффициентүүд нь +1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байх каноник квадрат хэлбэр юм.

Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, индекс, гарын үсэг:Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл Аматрицын зэрэглэл гэж нэрлэдэг А. Мэдэгдэхгүй хувиргах үед квадрат хэлбэрийн зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Сөрөг коэффициентүүдийн тоог сөрөг хэлбэрийн индекс гэж нэрлэдэг.

Каноник хэлбэрийн эерэг нэр томъёоны тоог квадрат хэлбэрийн инерцийн эерэг индекс, сөрөг гишүүний тоог сөрөг индекс гэж нэрлэдэг. Эерэг ба сөрөг индексүүдийн ялгааг квадрат хэлбэрийн гарын үсэг гэж нэрлэдэг

Эерэг тодорхой квадрат хэлбэр:Жинхэнэ квадрат хэлбэр Хэрэв нэгэн зэрэг тэг биш хувьсагчдын бодит утгууд байвал эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

. (36)

Энэ тохиолдолд матрицыг эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

Эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) хэлбэрийн ангилал нь сөрөг бус (эсрэг эерэг бус) хэлбэрийн ангиллын нэг хэсэг юм.

Квадрикууд:Квадрик - n- хэмжээст гипер гадаргуу дотор nХоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн тэгийн олонлогоор тодорхойлогддог +1 хэмжээст орон зай. Хэрэв та координатыг оруулбал ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (евклид эсвэл аффины орон зайд), квадратын ерөнхий тэгшитгэл нь

Энэ тэгшитгэлийг матрицын тэмдэглэгээнд илүү нягт нямбай дахин бичиж болно.

Энд x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) - эгнээ вектор, x T нь шилжүүлсэн вектор, Q- хэмжээ матриц ( n+1)×( n+1) (энэ нь ядаж нэг элемент нь тэг биш гэж үздэг), Пнь эгнээний вектор ба Р- тогтмол. Бодит эсвэл комплекс тоон дээрх квадратуудыг ихэвчлэн авч үздэг. Тодорхойлолтыг проекцын орон зайд квадрик болгон өргөжүүлж болно, доороос үзнэ үү.

Ерөнхийдөө олон гишүүнт тэгшитгэлийн системийн тэгийн багцыг алгебрийн төрөл гэж нэрлэдэг. Тиймээс квадрат нь 2-р зэрэглэлийн (аффин эсвэл проекктив) алгебрийн төрөл ба 1-р код хэмжигдэхүүн юм.

Хавтгай ба орон зайн өөрчлөлтүүд.

Хавтгай хувиргалтын тодорхойлолт. Хөдөлгөөн илрүүлэх. хөдөлгөөний шинж чанар. Хоёр төрлийн хөдөлгөөн: эхний төрлийн хөдөлгөөн ба хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн. Хөдөлгөөний жишээ. Хөдөлгөөний аналитик илэрхийлэл. Онгоцны хөдөлгөөний ангилал (тогтмол цэгүүд ба өөрчлөгдөөгүй шугамууд байгаа эсэхээс хамаарч). Онгоцны хөдөлгөөний бүлэг.

Хавтгай хувиргалтын тодорхойлолт: Тодорхойлолт.Цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалсан хавтгай хувирлыг гэнэ хөдөлгөөн(эсвэл хөдөлгөөн) онгоцны. Хавтгай хувиргалтыг гэж нэрлэдэг аффин, хэрэв энэ нь нэг шулуун дээр байрлах дурын гурван цэгийг нэг шулуун дээр байрлах гурван цэг болгон хувиргаж, нэгэн зэрэг гурван цэгийн энгийн хамаарлыг хадгална.

Хөдөлгөөний тодорхойлолт:Эдгээр нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг хэлбэрийн өөрчлөлтүүд юм. Хэрэв хоёр дүрс хөдөлгөөнөөр бие биетэйгээ яг таарч байвал эдгээр тоо ижил, тэнцүү байна.

Хөдөлгөөний шинж чанарууд:Хавтгайн чиг баримжаа хадгалах хөдөлгөөн бүр нь зэрэгцээ хөрвүүлэлт эсвэл эргэлт юм. Хөдлөх үед шулуун дээр байрлах цэгүүд шулуун дээр байрлах цэгүүд болж хувирах ба тэдгээрийн харьцангуй байрлалын дараалал хадгалагдана. Хөдлөх үед хагас шугамын хоорондох өнцөг хадгалагдана.

Хоёр төрлийн хөдөлгөөн: эхний төрлийн хөдөлгөөн ба хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн.Эхний төрлийн хөдөлгөөнүүд нь тодорхой дүрсийн суурийн чиглэлийг хадгалдаг хөдөлгөөнүүд юм. Тэдгээрийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр хэрэгжүүлэх боломжтой.

Хоёрдахь төрлийн хөдөлгөөнүүд нь суурийн чиглэлийг эсрэгээр нь өөрчилдөг хөдөлгөөнүүд юм. Тэдгээрийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр хэрэгжүүлэх боломжгүй юм.

Эхний төрлийн хөдөлгөөний жишээ нь шулуун шугамын эргэн тойронд орчуулах, эргүүлэх, хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн нь төв ба толин тусгал тэгш хэм юм.

Эхний төрлийн хэд хэдэн хөдөлгөөний найрлага нь эхний төрлийн хөдөлгөөн юм.

Хоёр дахь төрлийн тэгш тооны хөдөлгөөний найрлага нь 1-р төрлийн хөдөлгөөн, 2-р төрлийн сондгой тооны хөдөлгөөний найрлага нь 2-р төрлийн хөдөлгөөн юм.

Хөдөлгөөний жишээ:Зэрэгцээ шилжүүлэг. Өгөгдсөн векторыг a гэж үзье. a вектор руу параллель шилжүүлэх нь хавтгайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд M цэг бүрийг M 1 цэгт буулгаж, MM 1 вектор нь а вектортой тэнцүү байна.

Зэрэгцээ орчуулга нь зайг хадгалж, онгоцыг өөр дээрээ буулгаж байгаа учраас хөдөлгөөн юм. Энэ хөдөлгөөнийг өгөгдсөн а векторын чиглэлд бүх хавтгайг уртаар нь шилжүүлэх байдлаар дүрсэлж болно.

Эргүүлэх.Хавтгай дээрх О цэгийг тэмдэглэе. эргэлтийн төв) ба α өнцгийг тохируулна ( эргэлтийн өнцөг). Хавтгайг О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргүүлэх нь хавтгайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд M цэг бүрийг M 1 цэгт буулгаж, OM = OM 1 ба MOM 1 өнцөг нь α-тай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд О цэг нь байрандаа үлддэг, өөрөөр хэлбэл, энэ нь өөр дээрээ дүрслэгдсэн бөгөөд бусад бүх цэгүүд нь О цэгийн эргэн тойронд ижил чиглэлд - цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг эргэлддэг (зураг нь цагийн зүүний эсрэг эргэлтийг харуулж байна).

Эргүүлэх нь хөдөлгөөн юм, учир нь энэ нь онгоцыг өөр дээрээ буулгаж, зайг хадгалдаг.

Хөдөлгөөний аналитик илэрхийлэл:Урьдчилсан зургийн координат ба цэгийн зургийн хоорондох аналитик холболт нь (1) хэлбэртэй байна.

Онгоцны хөдөлгөөний ангилал (тогтмол цэг ба өөрчлөгдөөгүй шугам байгаа эсэхээс хамаарч): Тодорхойлолт:

Хавтгай дээрх цэг нь өгөгдсөн хувиргалтаар өөрөө болж хувирвал өөрчлөгддөггүй (тогтмол) байна.

Жишээ: Төвийн тэгш хэмийн үед тэгш хэмийн төвийн цэг нь өөрчлөгддөггүй. Эргэх үед эргэлтийн төвийн цэг нь өөрчлөгддөггүй. Тэнхлэгийн тэгш хэмийн хувьд инвариант шугам нь шулуун шугам юм - тэгш хэмийн тэнхлэг нь өөрчлөгддөггүй цэгүүдийн шулуун шугам юм.

Теорем: Хэрэв хөдөлгөөнд нэг хувьсах цэг байхгүй бол ядаж нэг хувьсах чиглэлтэй байна.

Жишээ нь: Зэрэгцээ дамжуулалт. Үнэн хэрэгтээ, энэ чиглэлтэй параллель шулуун шугамууд нь хувьсах цэгүүдээс тогтдоггүй ч бүхэлдээ дүрсийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

Теорем: Хэрэв туяа хөдөлж байвал туяа өөрөө хөрвүүлбэл энэ хөдөлгөөн нь өгөгдсөн туяаг агуулсан шулуун шугамын хувьд ижил хувирал эсвэл тэгш хэмтэй байна.

Иймд өөрчлөгддөггүй цэг эсвэл дүрс байгаа эсэх дээр үндэслэн хөдөлгөөнийг ангилах боломжтой.

Хөдөлгөөний нэр	Хувьсах цэгүүд	Хувьсах шугамууд
Эхний төрлийн хөдөлгөөн.
1. - эргэх	(төв) - 0	Үгүй
2. Биеийн хувирал	онгоцны бүх цэгүүд	бүгд шулуун
3. Төвийн тэгш хэм	цэг 0 - төв	0 цэгийг дайран өнгөрөх бүх шугам
4. Зэрэгцээ дамжуулалт	Үгүй	бүгд шулуун
Хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн.
5. Тэнхлэгийн тэгш хэм.	цэгүүдийн багц	тэгш хэмийн тэнхлэг (шулуун шугам) бүх шулуун шугамууд

Хавтгай хөдөлгөөний бүлэг:Геометрийн хувьд бие даасан дүрсүүдийн бүлгүүд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Хэрэв тодорхой дүрс нь хавтгай дээр (эсвэл орон зайд) байвал тухайн зураг өөрөө болж хувирах онгоцны (эсвэл орон зай) бүх хөдөлгөөний багцыг авч үзэж болно.

Энэ багц нь бүлэг юм. Жишээлбэл, тэгш талт гурвалжны хувьд гурвалжинг өөрт нь хувиргах хавтгай хөдөлгөөнүүдийн бүлэг нь нэг цэгийн эргэн тойронд өнцгөөр эргэх, гурван шулуун шугамын тэгш хэмтэй байх 6 элементээс бүрдэнэ.

Тэдгээрийг Зураг дээр үзүүлэв. 1 улаан шугамтай. Тогтмол гурвалжны өөрийгөө тэгшлэх бүлгийн элементүүдийг өөрөөр зааж өгч болно. Үүнийг тайлбарлахын тулд ердийн гурвалжны оройг 1, 2, 3 тоогоор дугаарлая. Гурвалжны аливаа өөрөө тэгшлэх нь 1, 2, 3-р цэгүүдийг ижил цэгүүд рүү аваачдаг, гэхдээ өөр дарааллаар авдаг, өөрөөр хэлбэл. нөхцөлтэйгээр эдгээр хаалтны аль нэг хэлбэрээр бичиж болно.

гэх мэт.

Энд 1, 2, 3 тоонууд нь авч үзэж буй хөдөлгөөний үр дүнд 1, 2, 3-р оройнууд орох оройнуудын тоог заана.

Проекктив орон зай ба тэдгээрийн загварууд.

Проекктив орон зайн тухай ойлголт ба проекцийн орон зайн загвар. Проекктив геометрийн үндсэн баримтууд. О цэг дээр төвлөрсөн олон тооны шугам нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Проекктив цэгүүд. Өргөтгөсөн онгоц нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Өргөтгөсөн гурван хэмжээст аффин буюу Евклидийн орон зай нь проекцийн орон зайн загвар юм. Зэрэгцээ дизайн дахь хавтгай ба орон зайн дүрсүүдийн зураг.

Проекктив орон зайн тухай ойлголт ба проекцийн орон зайн загвар:

Талбар дээрх проекцийн орон зай нь тухайн талбар дээрх зарим шугаман орон зайн шугамуудаас (нэг хэмжээст дэд орон зай) тогтсон орон зай юм. Шууд зай гэж нэрлэдэг цэгүүдпроекцийн орон зай. Энэ тодорхойлолтыг дурын байгууллагад нэгтгэж болно

Хэрэв энэ нь хэмжээстэй бол проекцийн орон зайн хэмжээсийг тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд проекцын орон зайг өөрөө тэмдэглэж, түүнтэй холбоотой гэж нэрлэдэг (үүнийг харуулахын тулд тэмдэглэгээг авсан).

Хэмжээний вектор орон зайгаас харгалзах проекцийн орон зай руу шилжих шилжилтийг гэнэ төсөөлөлорон зай.

Нэг төрлийн координатыг ашиглан цэгүүдийг дүрсэлж болно.

Проекктив геометрийн үндсэн баримтууд:Проекктив геометр нь проекцийн хавтгай ба орон зайг судалдаг геометрийн салбар юм. Проекктив геометрийн гол онцлог нь олон загварт гоёмсог тэгш хэмийг нэмдэг хоёрдмол байдлын зарчим юм. Проекцийн геометрийг цэвэр геометрийн үүднээс, аналитик (нэг төрлийн координатыг ашиглан) болон салгебрийн талаас нь судалж, проекцийн хавтгайг талбайн дээрх бүтэц гэж үзэж болно. Ихэнхдээ, түүхийн хувьд бодит проекцийн хавтгайг "хязгааргүй шугам" нэмсэн Евклидийн хавтгай гэж үздэг.

Харин Евклидийн геометрийн харьцдаг дүрсүүдийн шинж чанарууд байдаг хэмжүүр(өнцөг, сегмент, талбайн тодорхой утгууд) ба тоонуудын эквивалент нь тэдгээртэй тэнцүү байна. нийцтэй байдал(өөрөөр хэлбэл, хэмжүүрийн шинж чанарыг хадгалахын зэрэгцээ дүрсийг хөдөлгөөнөөр дамжуулан бие бие рүүгээ хөрвүүлэх боломжтой бол) геометрийн дүрсүүдийн "гүнд байрлах" шинж чанарууд нь хөдөлгөөнөөс илүү ерөнхий хэлбэрийн хувиргалтанд хадгалагддаг. Проекктив геометр нь ангиллын дагуу өөрчлөгддөггүй дүрсүүдийн шинж чанарыг судлахтай холбоотой юм проекцийн хувиргалтууд, түүнчлэн эдгээр өөрчлөлтүүд өөрсдөө.

Проекктив геометр нь параллель шугамуудаас болж төвөгтэй олон асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй шийдлүүдийг санал болгосноор Евклидийн геометрийг нөхдөг. Конус огтлолын проекцийн онол нь ялангуяа энгийн бөгөөд гоёмсог юм.

Проекктив геометрийн гурван үндсэн хандлага байдаг: бие даасан аксиоматжуулалт, Евклидийн геометрийг нөхөх, талбар дээрх бүтэц.

Аксиоматжуулалт

Проекцийн орон зайг өөр аксиомын багц ашиглан тодорхойлж болно.

Coxeter дараахь зүйлийг өгдөг.

1. Шулуун шугам байдаг ба түүн дээр биш цэг байдаг.

2. Шугам бүр дор хаяж гурван цэгтэй байна.

3. Хоёр цэгээр дамжуулан та яг нэг шулуун шугам зурж болно.

4. Хэрэв А, Б, C, Мөн Д- янз бүрийн цэгүүд болон ABТэгээд CDогтлолцох, тэгвэл А.С.Тэгээд Б.Догтлолцох.

5. Хэрэв ABCЭнэ нь онгоц бол тэр хавтгайд байхгүй ядаж нэг цэг байна ABC.

6. Хоёр өөр хавтгай дор хаяж хоёр цэгийг огтолно.

7. Бүтэн дөрвөлжингийн диагональ гурван цэг нь шугаман биш юм.

8. Гурван цэг нэг шулуун дээр байвал X X

Проекцийн хавтгай (гурав дахь хэмжээсгүй) нь арай өөр аксиомоор тодорхойлогддог.

1. Хоёр цэгээр дамжуулан та яг нэг шулуун шугам зурж болно.

2. Дурын хоёр шулуун огтлолцоно.

3. Дөрвөн цэг байдгаас гурав нь хоорондоо уялдаатай биш.

4. Бүрэн дөрвөлжингийн диагональ гурван цэг нь хоорондоо уялдаатай биш.

5. Гурван цэг нэг шулуун дээр байвал Xφ-ийн проекцын хувьд инвариант байна, тэгвэл бүх цэгүүд дээр байна Xφ-ийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

6. Дезаргусын теорем: Хэрэв хоёр гурвалжин нь цэгээр дамжих хэтийн төлөв бол шулуунаар дамжсан хэтийн төлөв болно.

Гурав дахь хэмжээс байгаа тохиолдолд Дезаргесын теоремыг хамгийн тохиромжтой цэг ба шугамыг оруулахгүйгээр баталж болно.

Өргөтгөсөн хавтгай - проекцийн хавтгай загвар: A3 аффин орон зайд бид төв нь О цэгт байрладаг S(O) шулуун ба багцын төвөөр дамждаггүй Π хавтгайг авна: O 6∈ Π. Аффин орон зай дахь шугамын багц нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Хавтгайн Π цэгүүдийн багцыг S холбогчийн шулуун шугамын зураглалыг тодорхойлъё (Ноов, хэрэв танд энэ асуулт байгаа бол намайг уучлаарай)

Өргөтгөсөн гурван хэмжээст аффин буюу Евклидийн орон зай—проекктив орон зайн загвар:

Зураглалыг сурьектив болгохын тулд бид аффин хавтгайг Π проекцын хавтгайд албан ёсоор сунгах үйл явцыг давтаж, Π хавтгайг буруу цэгүүдээр (M∞) нэмж, дараах байдлаар давтана: ((M∞)) = P0(O). Газрын зураг дээр S(O) хавтгайнуудын хавтгай тус бүрийн урвуу дүрс нь d хавтгай дээрх шулуун байгаа тул сунгасан хавтгайн бүх буруу цэгүүдийн багц нь тодорхой байна: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞) нь өргөтгөсөн хавтгайн буруу d∞ шулууныг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь Π0 ганц хавтгайн урвуу дүрс юм: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Эндээс хойш бид P0(O) = Π0 сүүлчийн тэгшитгэлийг цэгийн олонлогийн тэгш байдал гэсэн утгаар ойлгох болно, гэхдээ өөр бүтэцтэй. Аффин хавтгайг буруу шугамаар нэмснээр бид зураглал (I.21) өргөтгөсөн хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог дээр хоёр талтай болохыг баталгаажуулсан.

Зэрэгцээ дизайн хийх үед хавтгай ба орон зайн дүрсүүдийн зураг:

Стереометрийн хувьд орон зайн дүрсийг судалдаг боловч зураг дээр тэдгээрийг хавтгай дүрс хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Онгоцонд орон зайн дүрсийг хэрхэн дүрслэх ёстой вэ? Ихэвчлэн геометрийн хувьд параллель загварыг үүнд ашигладаг. p ямар нэг онгоц байг, л- түүнийг огтолж буй шулуун шугам (Зураг 1). Дурын цэгээр дамжуулан А, шугаманд хамаарахгүй л, шугамтай зэрэгцээ шугам зур л. Энэ шулууны p хавтгайтай огтлолцох цэгийг цэгийн зэрэгцээ проекц гэнэ Ашулуун шугамын чиглэлд p хавтгайд л. Үүнийг тэмдэглэе А". Хэрэв цэг Амөрөнд хамаарна л, дараа нь зэрэгцээ проекцоор Ашугамын огтлолцлын цэгийг p хавтгай дээр байна гэж үзнэ лонгоцтой p.

Тиймээс цэг бүр Аорон зай түүний проекцийг харьцуулсан болно А" p хавтгай дээр. Энэ харилцлыг шулуун шугамын чиглэлд p хавтгайд параллель проекц гэж нэрлэдэг. л.

Проекктив хувиргалтын бүлэг. Асуудлыг шийдвэрлэх програм.

Хавтгайг проекц хувиргах тухай ойлголт. Хавтгайн проекцийн өөрчлөлтүүдийн жишээ. Проекктив хувиргалтын шинж чанарууд. Гомологи, гомологийн шинж чанар. Проекктив хувиргалтын бүлэг.

Хавтгайг проекц хувиргах тухай ойлголт:Проекктив өөрчлөлтийн тухай ойлголт нь төв проекцын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Хэрэв бид α хавтгайг ямар нэгэн α 1 хавтгайд төвлөрсөн проекцийг хийвэл α 1-ийн α 2, α 2 дээр α 3, ..., эцэст нь α хавтгайд проекц хийнэ. nдахин α 1 дээр, дараа нь эдгээр бүх төсөөллийн найрлага нь α хавтгайн проекц хувиргалт юм; Зэрэгцээ төсөөллийг ч ийм хэлхээнд оруулж болно.

Проекктив хавтгай хувиргалтын жишээ:Дууссан хавтгайн проекцын хувиргалт нь цэгүүдийн харилцан уялдаа холбоог хадгалах, өөрөөр хэлбэл ямар ч шугамын дүрс нь шулуун шугамыг өөр дээрээ нэг нэгээр нь буулгах явдал юм. Аливаа проекцийн хувиргалт нь төв ба зэрэгцээ төсөөллийн гинжин хэлхээний найрлага юм. Аффин хувиргалт нь хязгааргүйд байгаа шугам өөрөө болж хувирдаг проекктив хувирлын онцгой тохиолдол юм.

Проекктив хувиргалтын шинж чанарууд:

Проекктив хувирлын үед шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг нь шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг болж хувирдаг.

Проекцийн өөрчлөлтийн үед хүрээ нь хүрээ болдог.

Проекктив хувирлын үед шулуун шугам нь шулуун шугам руу, харандаа нь харандаа руу ордог.

Гомологи, гомологийн шинж чанарууд:

Инвариант цэгүүдийн шугамтай, тиймээс инвариант шугамын харандаатай хавтгайн проекц хувирлыг гомологи гэж нэрлэдэг.

1. Давхцаагүй харгалзах гомологийн цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамыг инвариант шулуун гэнэ;

2. Давхцаагүй харгалзах гомологийн цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамууд нь нэг харандаанд хамаарах ба түүний төв нь өөрчлөгдөөгүй цэг юм.

3. Цэг, түүний дүрс, ижил төстэй төв нь нэг шулуун дээр байрладаг.

Проекцийн өөрчлөлтүүдийн бүлэг: P 2 проекцын хавтгайн проекцын зураглалыг, өөрөөр хэлбэл энэ хавтгайн проекц хувирлыг (P 2 ' = P 2) авч үзье.

Өмнөхтэй адил, P 2 проекцийн хавтгайн f 1 ба f 2 проекцийн хувиргалтын найрлага нь f 1 ба f 2 хувиргалтыг дараалан гүйцэтгэсний үр дүн юм: f = f 2 ° f 1.

Теорем 1: Р 2 проекцийн хавтгайн бүх проекц хувиргалтын H олонлог нь проекц хувиргалтын бүрэлдэхүүнд хамаарах бүлэг юм.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуурыг олоход ашигладаг Гессийн матрицуудфункцын төрлийг тодорхойлох (гүдгэр эсвэл хотгор) (жишээг үзнэ үү). Шийдлийг Word форматаар боловсруулсан болно. Нэг хувьсагч f(x) функцийн хувьд гүдгэр ба хотгорын интервалыг тодорхойлно.

Функцийг оруулах дүрэм:

Хоёр удаа тасралтгүй дифференциал болох f(x) функц нь зөвхөн, хэрэв гүдгэр (хүнх) байна Гессийн матриц x-тэй харьцах f(x) функц нь бүх x-ийн хувьд эерэг (сөрөг) хагас тодорхой (хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн орон нутгийн туйлын цэгүүдийг үзнэ үү).

Функцийн чухал цэгүүд:

• хэрэв Гесс эерэг тодорхой бол x 0 нь f(x) функцийн орон нутгийн хамгийн бага цэг болно.
• хэрвээ Хэссиан сөрөг тодорхой бол x 0 нь f(x) функцийн орон нутгийн хамгийн их цэг болно.
• хэрвээ Хэссиан тэмдэгт тодорхой биш (эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авдаг) ба доройтдоггүй (det G(f) ≠ 0) бол x 0 нь f(x) функцийн эмээлийн цэг юм.

Матрицын тодорхой байдлын шалгуур (Сильвестерийн теорем)

Эерэг баталгаа:

• матрицын бүх диагональ элементүүд эерэг байх ёстой;
• Бүх тэргүүлэх гол шалгуур үзүүлэлтүүд эерэг байх ёстой.

Эерэг хагас тодорхойлогддог матрицуудын хувьд Сильвестерийн шалгуурИйм сонсогдож байна: Бүх том насанд хүрээгүй хүүхдүүд сөрөг биш байвал хэлбэр эерэг хагас тодорхойлогддог. Хэрэв Хэссийн матриц нь нэг цэгт эерэг хагас тодорхойлогддог бол (бүх гол насанд хүрээгүй хүүхдүүд сөрөг биш) бол энэ нь хамгийн бага цэг юм (гэхдээ хэрвээ Хэссиан хагас тодорхой бөгөөд насанд хүрээгүй хүмүүсийн нэг нь 0 бол энэ нь эмээлийн цэг байж болно. Нэмэлт шалгалт шаардлагатай).

Эерэг хагас тодорхой байдал:

• бүх диагональ элементүүд нь сөрөг биш;
• бүх гол тодорхойлогч нь сөрөг биш юм.

Гол тодорхойлогч нь том жижиг тодорхойлогч юм.

Элементүүд нь хоёрдугаар эрэмбийн зорилгын функцийн хэсэгчилсэн деривативууд болох n дарааллын квадрат тэгш хэмтэй матриц, Гессийн матриц гэж нэрлэдэгбөгөөд дараахыг тодорхойлсон:

Тэгш хэмт матриц эерэг тодорхой байхын тулд түүний бүх диагональ минорууд эерэг байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.


A = (a ij) матрицын хувьд эерэг байна.

Сөрөг итгэлтэй байдал.
Тэгш хэмт матрицыг сөрөг тодорхой болгохын тулд дараахь тэгш бус байдал үүсэх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
(-1) k D k > 0, к=1,.., n.
Өөрөөр хэлбэл квадрат хэлбэр байхын тулд сөрөг тодорхой, хасах тэмдгээс эхлэн квадрат хэлбэрийн матрицын өнцгийн миноруудын тэмдгүүд ээлжлэн солигдох нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн хувьд D 1< 0, D 2 > 0.

Хэрэв Хэссиан хагас тодорхой бол энэ нь бас нугалах цэг байж болно. Нэмэлт судалгаа шаардлагатай бөгөөд үүнийг дараах сонголтуудын аль нэгийг ашиглан хийж болно.

1. Захиалга буурч байна. Хувьсагчийн өөрчлөлт хийгдсэн. Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд энэ нь y=x, үр дүнд нь бид нэг хувьсагчийн функцийг авдаг. Дараа нь y=x ба y=-x шугамууд дээрх функцийн үйлдлийг шалгана. Хэрэв эхний тохиолдолд судалж буй цэгийн функц нь хамгийн бага, нөгөө тохиолдолд хамгийн их (эсвэл эсрэгээр) байвал судалж буй цэг нь эмээлийн цэг болно.
2. Hessian-ийн хувийн утгыг олох. Хэрэв бүх утгууд эерэг байвал судалж буй цэгийн функц хамгийн бага, бүх утга сөрөг байвал дээд тал нь байна.
3. ε цэгийн ойролцоо f(x) функцийг судлах. x хувьсагчдыг x 0 +ε-ээр солино. Дараа нь нэг ε хувьсагчийн f(x 0 +ε) функц нь тэгээс их (тэгвэл x 0 нь хамгийн бага цэг) эсвэл тэгээс бага (дараа нь x 0 нь хамгийн их цэг) болохыг батлах шаардлагатай.

Анхаарна уу. Олох урвуу Hessianурвуу матрицыг олоход хангалттай.

Жишээ №1. Дараах функцүүдийн аль нь гүдгэр эсвэл хотгор вэ: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Шийдэл. 1. Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.


2. Тэгшитгэлийн системийг шийдье.
-4х 1 +4х 2 +2 = 0
4х 1 -6х 2 +6 = 0
Бид авах:
a) Эхний тэгшитгэлээс бид x 1-ийг илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.
x 2 = x 2 + 1/2
-2х 2 +8 = 0
Энд x 2 = 4
Бид эдгээр x 2 утгыг x 1 гэсэн илэрхийлэлд орлуулна. Бид авна: x 1 = 9/2
Чухал цэгүүдийн тоо 1 байна.
М 1 (9/2 ;4)
3. Хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.



4. Эдгээр хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын утгыг M(x 0 ;y 0) эгзэгтэй цэгүүдэд тооцъё.
Бид M 1 цэгийн утгыг тооцоолно (9/2 ;4)



Бид Hessian матрицыг бүтээдэг:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Диагональ насанд хүрээгүй хүмүүс өөр өөр шинж тэмдэгтэй байдаг тул функцын гүдгэр эсвэл хонхор байдлын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Оршил…………………………………………………………….......................... ........ ...................3

1 Квадрат хэлбэрийн тухай онолын мэдээлэл…………………………4

1.1 Квадрат хэлбэрийн тодорхойлолт……………………………………4

1.2 Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах…………………6

1.3 Инерцийн хууль…………………………………………………………….11

1.4 Эерэг тодорхой хэлбэрүүд……………………………………18

2 Квадрат хэлбэрийн практик хэрэглээ …………………………22

2.1 Ердийн асуудлыг шийдвэрлэх …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………22

2.2 Бие даан шийдвэрлэх даалгаврууд………………………………………26

2.3 Тестийн даалгавар……………………………………………………………27

Дүгнэлт………………………………………………………………………29

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт .......................................................................................................... ... 30

ОРШИЛ

Эхэндээ квадрат хэлбэрийн онолыг хоёр буюу гурван хувьсагч агуулсан хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруй ба гадаргууг судлахад ашигласан. Хожим нь энэ онол бусад хэрэглээг олсон. Ялангуяа эдийн засгийн үйл явцыг математик загварчлахдаа зорилгын функцууд нь квадрат нэр томъёог агуулж болно. Квадрат хэлбэрийн олон тооны хэрэглээ нь хувьсагчдын тоо аль нэгтэй тэнцүү байх үед ерөнхий онолыг бий болгох шаардлагатай байв.

, мөн квадрат хэлбэрийн коэффициентүүд нь үргэлж бодит тоо байдаггүй.

Квадрат хэлбэрийн онолыг анх Францын математикч Лагранж боловсруулсан бөгөөд тэрээр энэ онолын олон санааг эзэмшиж, ялангуяа бууруулсан хэлбэрийн тухай чухал ойлголтыг нэвтрүүлж, түүний тусламжтайгаар ангиллын тоо хязгаарлагдмал болохыг нотолсон; Өгөгдсөн дискриминантын хоёртын квадрат хэлбэрүүд. Дараа нь энэ онолыг Гаусс ихээхэн өргөжүүлж, олон шинэ ухагдахууныг нэвтрүүлсэн бөгөөд үүний үндсэн дээр тэрээр энэ салбарт өмнөх онолынхоос зайлсхийсэн тооны онолын хэцүү, гүнзгий теоремуудын нотолгоог олж авч чадсан юм.

Ажлын зорилго нь квадрат хэлбэрийн төрлүүд, квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах арга замыг судлах явдал юм.

Энэхүү ажил нь дараахь ажлуудыг тавьдаг: шаардлагатай ном зохиолыг сонгох, тодорхойлолтыг авч үзэх, хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэх, тест бэлтгэх.

1 КВАДРАТ ХӨРӨНГИЙН ТУХАЙ ОНОЛЫН МЭДЭЭЛЭЛ

1.1 КВАДРАТ ХЭЛБЭРИЙН ТОДОРХОЙЛОЛТ

Квадрат хэлбэр

Үл мэдэгдэхүүдийн нийлбэр нь гишүүн бүр нь эдгээр үл мэдэгдэхийн аль нэгнийх нь квадрат эсвэл хоёр өөр үл мэдэгдэх үржвэр юм. Квадрат хэлбэр нь түүний коэффициентүүд нь бодит эсвэл комплекс тоо эсэхээс хамаарч бодит ба нийлмэл гэсэн хоёр хэлбэртэй байдаг.

коэффициентийг тэмдэглэж байна

дамжуулан, болон үйлдвэрлэх үед , дамжуулан , квадрат хэлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Коэффициентуудаас

дарааллын квадрат матрицыг бүтээх боломжтой; үүнийг квадрат хэлбэрийн матриц гэж нэрлэдэг ба түүний зэрэглэлийг квадрат хэлбэрийн зэрэглэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв, тухайлбал, энд, өөрөөр хэлбэл матриц нь доройтдоггүй бол квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй гэж нэрлэдэг. Аливаа тэгш хэмтэй матрицын хувьд нэгийг нь бүрэн тодорхойлсон квадрат хэлбэрээр зааж өгч болно. (1.1) - үл мэдэгдэх, тэдгээрийн коэффициент бүхий матрицын элементүүд.

Одоо гэж тэмдэглэе

үл мэдэгдэхээс бүрдэх багана: . нь мөр, нэг багана бүхий матриц юм. Энэ матрицыг шилжүүлснээр бид матрицыг олж авна. , нэг мөрөөс бүрдэнэ.

Матрицтай квадрат хэлбэр (1.1).

одоо бүтээгдэхүүн болгон бичиж болно:.

1.2 КВАДРАТ ХЭЛБЭР БОЛГОХ

КАНОН ҮЗЭЛТЭЙ

Квадрат хэлбэр гэж бодъё

үл мэдэгдэхээс аль хэдийн буураагүй шугаман хувиргалтаар каноник хэлбэрт шилжсэн, шинэ үл мэдэгдэх зүйлс хаана байна. Зарим коэффициент нь тэг байж болно. Тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоо нь маягтын зэрэгтэй заавал тэнцүү гэдгийг баталъя. Энэ квадрат хэлбэрийн матриц нь диагональ хэлбэртэй байна ,

мөн энэ матриц нь зэрэгтэй байх шаардлага

, түүний үндсэн диагональ нь яг тэгээс өөр элементүүдийг агуулна гэсэн таамаглалтай тэнцэнэ.

Теорем.Ямар ч квадрат хэлбэрийг зарим доройтдоггүй шугаман хувиргалтаар каноник хэлбэрт оруулж болно. Хэрэв бодит квадрат хэлбэрийг авч үзвэл заасан шугаман хувиргалтын бүх коэффициентийг бодит гэж үзэж болно.

Баталгаа. Энэ теорем нь нэг үл мэдэгдэх квадрат хэлбэрийн тохиолдлын хувьд үнэн юм, учир нь ийм хэлбэр нь хэлбэртэй байдаг

, энэ нь каноник юм. Цөөн тооны үл мэдэгдэх хэлбэрт аль хэдийн нотлогдсон гэж үзээд үл мэдэгдэх квадрат хэлбэрийн теоремыг индукцаар нотлох баримтыг оруулъя.

(1.1)-ийн квадрат хэлбэрийг бичье