Инженерийн зураг төсөлд тэгш өнцөгт төсөөллийн аргыг ашигладаг. Тиймээс бид ортогональ проекцийн аргыг ашиглан хичээлийн цаашдын судалгааг хийх болно.

Дүрслэх геометрийн хичээлийн хоёр үндсэн ажлыг хоёрдмол утгагүй шийдвэрлэхийн тулд зураг нь дараахь шаардлагыг хангасан байх ёстой.

1. Энгийн байдал, харагдах байдал;

2. Зургийн урвуу байдал.

Нэг зургийн зургийг ашиглан төсөөлөх аргууд нь шууд асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, өгөгдсөн эх хувилбараас түүний проекцийг бүтээх). Гэсэн хэдий ч урвуу асуудлыг (өөрөөр хэлбэл эхийг проекцоор хуулбарлах) хоёрдмол утгагүйгээр шийдэж чадахгүй. Энэ асуудал нь хязгааргүй олон шийдлийг хүлээн зөвшөөрдөг, учир нь цэг бүр А 1проекцын онгоцууд P 1проекцын аль ч цэгийн проекц гэж үзэж болно л Адамжин өнгөрөх А 1. Тиймээс авч үзсэн нэг зургийн зургууд нь өмчгүй байдаг урвуу байдал.

Нэг зургийн урвуу зургийг авахын тулд тэдгээрийг шаардлагатай мэдээллээр хавсаргасан болно. Үүнийг нэмэх янз бүрийн арга бий. Жишээлбэл, тоо бүхий зураг.

Энэ арга нь тухайн цэгийн төсөөлөлтэй хамт байдагт оршино А 1цэгийн өндрийг тогтоосон, өөрөөр хэлбэл. проекцын хавтгайгаас түүний зай. Мөн масштабыг тохируулна уу. Энэ аргыг барилга, архитектур, геодези гэх мэт салбарт ашигладаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь орон зайн нарийн төвөгтэй хэлбэрийн зургийг бүтээхэд түгээмэл биш юм.

1798 онд Францын геометр-инженер Гаспард Монж тухайн үед хуримтлуулсан онолын мэдлэг, туршлагыг нэгтгэн дүгнэж, анх удаа зураг бүтээх ерөнхий аргын шинжлэх ухааны үндэслэлийг гаргаж, хоёр төсөөллөөс бүрдсэн хавтгай зургийг авч үзэхийг санал болгов. харилцан перпендикуляр проекцын хоёр хавтгайг нэгтгэсний үр дүн. Эндээс л бидний өнөөг хүртэл хэрэглэж байгаа зураг зурах зарчим бий болдог.

Бид сегментийн төсөөллийг бий болгох зорилтыг өөртөө тавьцгаая харилцан перпендикуляр проекцын хоёр хавтгайд P 1болон P 2.

1. Орон зайн загвар.

P 1 ^ P 2. AA 1 ^ P 1; |АА 1 | - А-аас P 1 хүртэлх зай.

АА 2^ P 2;|АА 2| -аас зайтай БАөмнө P 2.

P 1- хэвтээ проекцын хавтгай;

P 2- урд талын проекцын хавтгай.

A 1 B 1- сегментийн хэвтээ проекц;

A 2 B 2- сегментийн урд талын проекц.

x 12- проекцын хавтгайн огтлолцлын шугам.

Гэсэн хэдий ч, энэ хэлбэрээр зураг нь уншихад тохиромжгүй байдаг. Иймд Гаспард Монж эдгээр проекцын хавтгайг нэгтгэхийг санал болгосон бөгөөд үүнээс гадна P-ийг зургийн хавтгай болгон авч, P-г эргүүлэх замаар давхцуулжээ. P 2. Ийм зургийг нарийн төвөгтэй зураг гэж нэрлэдэг.

2. Хавтгай загвар.

Хавтгай зураг дээр проекцын хавтгайг бүх агуулгатай хослуулахыг авч үзье. Сансар огторгуйн олон цэгийн проекцын багц P 1хэвтээ проекцийн талбар гэж нэрлэдэг ба дээр P 2- урд талын проекцын талбар.

x 12- проекцын тэнхлэг, лавлах суурь.

A 1 A 2, B 1 B 2 Þ холболтын шугам нь нийлмэл зургийн цэгийн хоёр проекцийг холбосон шулуун шугам юм. Холболтын шугам нь проекцын тэнхлэгт перпендикуляр байна.

Монжийн хоёр зургийн цогцолбор зургийн шинж чанарууд:

1. Нэг цэгийн хоёр проекц нь тогтсон чиглэлийн нэг холбооны шугам дээр үргэлж оршдог.

2. Нэг тогтсон чиглэлийн бүх холбооны шугамууд хоорондоо параллель байна.

3. Тэнхлэггүй зураг.

Хэрэв хосолсон онгоцууд P 1болон P 2дурын зайд өөр хоорондоо параллель хөдөлж (тэнхлэгүүдийн байрлалыг үзнэ үү x 12, x 12 1, x 12 11Зураг дээр. 1-17), дараа нь зурагнаас проекцын хавтгай хүртэлх зай өөрчлөгдөнө.

Гэсэн хэдий ч зургийн төсөөлөл нь өөрөө (энэ тохиолдолд сегмент AB) проекцын хавтгайг параллель шилжүүлэх үед өөрчлөгдөхгүй (зэрэгцээ проекцын 7-р шинж чанарын дагуу).

Зураг дээрээс. 1-17 харагдаж байна. тэнхлэгийн аль ч байрлалын хувьд X, тоо хэмжээ ДЗ- сегментийн төгсгөлөөс хүртэлх зайны зөрүү P 1, ба Dy- сегментийн төгсгөлөөс хүртэлх зайны зөрүү P 2, өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Тиймээс тэнхлэгийн байрлалыг зааж өгөх шаардлагагүй x 12нарийн төвөгтэй зураг дээр байрлуулж, улмаар проекцын хавтгайн байрлалыг урьдчилан тодорхойлно P 1болон P 2сансарт.

Энэ нөхцөл байдал нь инженерчлэлд ашигласан зургуудад тохиолддог бөгөөд ийм зураг гэж нэрлэдэг тэнхлэггүй.

Дээрх зүйлийг тодорхой жишээгээр тайлбарлая.

Даалгавар:Хүснэгтийг үйлдвэрлэхэд зориулж зураг зурах (Зураг 1-18).

1. Монгийн талбайн шинж чанарыг харгалзан хүснэгтийн гурван проекцийг байгуул.

2. Энэ бүтээгдэхүүний зургийн дагуу гүйцэтгэхэд юу дутагдаж байна вэ?

3. Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, хэмжээ.

Одоо, бүтээгдэхүүний гурван зураг ба түүний хэмжээсүүд байгаа үед бүтээгдэхүүнээс проекцын хавтгай хүртэлх зай нь бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой, өөрөөр хэлбэл тэнхлэгт холбох явдал юм. x, yболон z(зураг дээрх хэмжээ 1500, 2000, 2000).

Үгүй ээ, тэд тэгдэггүй!

Энэхүү зургийн дагуу бүтээгдэхүүнийг бүтээсэн бөгөөд хананаас ямар зайд суурилуулах ёстой вэ ( P 2, P 3) нь өөр асуудал юм.

Тэнхлэггүй зурах нь тэнхлэгт уяхгүйгээр дүрсийг гүйцэтгэгчдэд тохиромжтой байрлалд байрлуулах боломжийг олгодог, гэхдээ проекцын харьцааг дагаж мөрддөг. Зургийн барилгын ажил нь Гаспард Монжийн тогтоосон хуулийн дагуу явагддаг

ТАНИЛЦУУЛГА

Дүрслэх геометр нь орон зайн геометрийн объектын хавтгай дүрсийг бүтээх арга, тэдгээрийн геометрийн шинж чанар, эдгээр зураг дээр орон зайн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг судалдаг бөгөөд энэ нь ирээдүйн мэргэжилтнүүдэд зураг зурахдаа үйлдвэрлэлийн үйл ажиллагаандаа шаардлагатай байдаг.

Арга зүйн заавар нь дүрслэх геометрийн лабораторийн хичээлд бие даан бэлтгэх оюутнуудад зориулагдсан болно.

Гарын авлагад авч үзсэн даалгавруудыг сэдвүүдээр нь бүлэглэсэн бөгөөд оюутнууд дараагийн хичээлд бие даан бэлтгэхэд ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд тэд дараахь зүйлийг хийх ёстой.

Шийдэх даалгаварөмнөх сэдэв;

Тухайн сэдвээр онолын материалыг судалж, өөрийгөө хянах асуултуудад хариулах;

Гүй дасгалуудөгөгдсөн сэдвээр;

Хэсэг даалгаварЭнэ сэдвийг багшийн тусламжтайгаар лабораторийн хичээлээр шийдэж, заримыг нь гэрийн шийдэлд зориулж өгдөг.

Хичээлийн эхэнд багш оюутнуудын бие даан шийдсэн өмнөх сэдвийн даалгавар, оюутнуудын онолын бэлтгэл, өгөгдсөн сэдвээр дасгалын шийдлийг шалгана. Сэдэв бүрийн төгсгөлд ердийн асуудлыг шийдэх жишээалхам алхмаар зурагтай. Шинэ сэдвийн дасгалуудыг шийдэж эхлэхдээ холбогдох жишээтэй танилцаж, зургийн загварт дагаж мөрдөх нь ашигтай байдаг. Сэдэв бүрийн төгсгөлд нэмэлт даалгавар. Оюутнууд нэмэлт бодлогуудыг зөв шийдвэрлэснээр тухайн хичээлийн хүчирхэг оюутнуудыг тодруулах зорилгоор улирлын төгсгөлд зохиогддог Дүрслэх геометрийн олимпиадад оролцох боломжийг олгодог. Гарын авлагын хавсралт нь судалж буй материал, мэдлэгээ өөрөө хянах сэдвүүдийн тестүүдийг агуулдаг.

Гарын авлагатай ажиллах явцад оюутнууд асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг практик арга барилд суралцдаг бөгөөд энэ нь тэдгээрийг бие даан шийдвэрлэх ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэх боломжийг олгодог. Энэ туршлага хуримтлуулахын хэрээр оюутан мэргэжлийн түвшинд бие даан сэтгэж эхэлдэг.

ШИЙДВЭРЛЭХ АРГА ЗҮЙН ЗААВАР БА

ДААЛГАВАР БҮРТГҮҮЛЭХ

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ дараахь зөвлөмжийг дагаж мөрдөх шаардлагатай.

1. Бодлогын анхны өгөгдлүүдийг бүрдүүлж буй геометрийн дүрсүүдийн проекцын дагуу тэдгээрийн хэлбэр, орон зай дахь харьцангуй байрлалыг бие биетэйгээ болон проекцын хавтгайтай харьцуулан төсөөл.

2. Асуудлыг шийдвэрлэх "орон зайн" төлөвлөгөөг гаргаж, геометрийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг тогтоо, түүний тусламжтайгаар асуудлын хариултыг олж авах боломжтой. Асуудлыг шийдвэрлэх энэ үе шатанд "Планиметри", "Стереометрийн" анхан шатны геометрийн хичээлийн теоремууд, сурах бичиг, лекц дэх онолын материалд хандах хэрэгтэй.

3. Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг тодорхойлж, хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ, нэр томъёог ашиглан график бүтээцийн дарааллыг товч бичнэ үү.

4. Зэрэгцээ проекцын хувиршгүй шинж чанарыг ашиглан геометрийн байгууламж руу шилжинэ. Эхний хоёр цэгийг гүйцэтгэхдээ боломжит шийдлүүдийн тоог тогтоож, тэдгээрээс хамаарах шалтгааныг тодорхойлох нь ашигтай байдаг.

5. Геометрийн байгууламжийг гүйцэтгэхдээ асуудлыг шийдвэрлэх аль ч үе шатанд тэдгээрийн хэрэгжилтийн зөв эсэхийг хянах боломжтой гэдгийг санах нь зүйтэй. Дүрслэх геометрийн асуудлын номонд хариулт байхгүй тул энэ нь ялангуяа үнэ цэнэтэй юм. Хяналт нь сургуулийн стереометрийн курсын зэрэгцээ проекц ба теоремуудын инвариант шинж чанарт суурилдаг.

Асуудлыг графикаар шийдвэрлэхдээ хариултын нарийвчлал нь түүнийг шийдвэрлэх зөв арга замыг сонгохоос гадна геометрийн байгууламжийн нарийвчлалаас хамаарна. Тиймээс асуудлыг шийдэхдээ зургийн хэрэгслийг ашиглах шаардлагатай. Даалгавруудыг лабораторийн дасгал хийх торонд тусдаа дэвтэрт хийж шийдвэрлэх ёстой. Шугамын төрөл ба зузааныг ГОСТ 2.303-68 ESKD стандартын дагуу гүйцэтгэнэ. Барилга байгууламжийг харандаагаар хийдэг. Шийдвэрлэх явцад олж авсан зургийг уншихад хялбар болгохын тулд өнгөт харандаа ашиглахыг зөвлөж байна: өгөгдсөн элементүүдийг хараар, туслах байгууламжийг цэнхэр өнгөөр, хүссэн элементүүдийг улаан өнгөөр ​​тусгана. Бүх цэг, шугамыг заавал тэмдэглэх замаар ижил зорилгыг баримталдаг. Энэ тохиолдолд шугамыг зурах эсвэл шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлсны дараа шууд асуудлыг шийдвэрлэх явцад тэмдэглэгээг хийх ёстой. ГОСТ 2.304-84 ESKD стандартын дагуу бичээс, үсгийн тэмдэглэгээг стандарт фонтоор хийх ёстой.

Шийдвэрлэсэн асуудал бүхий дэвтэрийг шалгалтын үеэр багшид өгдөг.

ЗОРИУЛАЛТЫГ ХҮЛЭЭН АВСАН

A B C D,…эсвэл 1, 2, 3, 4, ... - цэгийн тэмдэглэгээ; латин цагаан толгойн том үсэг эсвэл араб тоо.

o - цэгийн дүрс (цэгний байршлын хэсэг); гараар нимгэн шугамаар 2-3 мм-ийн диаметртэй тойрог.

a B C D,... - орон зай дахь шугам; латин цагаан толгойн жижиг үсэг.

Γ, Σ, Δ,… - онгоц, гадаргуу; Грек цагаан толгойн том үсгүүд.

α, β, γ, δ, ... - булангууд; Грек цагаан толгойн жижиг үсэг.

P -проекцын хавтгай (зургийн хавтгай); Грек цагаан толгойн том үсэг (pi).

AB- цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам БА болон AT .

[AB]- цэгээр хязгаарлагдсан сегмент БА болон AT .

[AB ) нь цэгээр хязгаарлагдсан цацраг юм БА мөн цэгээр дамжин өнгөрөх AT.

/AB /–сегментийн байгалийн хэмжээ[ AB] (эх хувьтай тэнцүү).

/Аа /–цэгээс авах зай БА шугам руу а.

/AΣ /–цэгээс авах зай БА онгоц хүртэл Σ .

/ab /– шугам хоорондын зай а болон б.

/GD / - G ба D гадаргуугийн хоорондох зай.

≡- давхцал (A≡B - A ба B цэгүүд давхцдаг).

║ - зэрэгцээ.

^ - перпендикуляр.

∩ - уулзвар.

О - хамаарах, олонлогийн элемент юм.

^ - өнцөг, жишээ нь a^b - a ба b шулуун шугамын хоорондох өнцөг.

Ð α - өнцөг α (эсвэл градусын тоо).

RABC - В цэгийн оройтой өнцөг.

Тэмдгийн дүрсийг техникийн болон шинжлэх ухааны баримт бичгийг боловсруулахад хүлээн зөвшөөрөгдсөн стандартын дагуу хийх ёстой.

СЭДЭВ 1 МОНГЭ-ИЙН НЭГДСЭН ЗУРАГ

(цэг, шугам )

Өөрийгөө хянах асуултууд

1. Ортогональ проекцын шинж чанарууд.

2. Проекцийн аппаратад ямар элементүүд багтдаг вэ?

3. Проекцийн тэнхлэг гэж юу вэ?

4. Цэгийн проекцийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

5. Ямар шулуун шугамыг "холбох шугам" гэж нэрлэдэг ба тэдгээр нь проекцын тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн байрладаг вэ?

6. Сансар огторгуй дахь цэгийн байрлалыг проекцоор нь сэргээж чадах уу?

7. Нарийн төвөгтэй зураг дээр хэрхэн шулуун шугам тавих вэ?

8. Ямар шугамыг ерөнхий ба хэсэгчилсэн байрлалын шугам гэж нэрлэдэг вэ? Нарийн төвөгтэй зураг зурах.

9. Орон зайд хоёр шугам бие биенээсээ хэрхэн байрладаг вэ?

10. Шулуун шугамын ул мөрийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

3.1 Цогцолбор цэгийн зураг

Дасгал

3.1.5. Зураг дээр өгөгдсөн A, B, C цэгүүдийн аль нь P 1 хавтгайд хамаарах вэ?

3.1.6 Үзүүлэн зурсан зураг дээр (Зураг 3.1) A, B, C, D цэгүүдийн A 2, B 1, C 1, D 2 проекцуудыг байгуул. Эдгээр цэгүүд аль хэсэгт байгааг тодорхойлох уу?

Зураг 3.1

Даалгаврууд

3.2 Цогцолбор зурах шулуун

Дасгал

Даалгаврууд

3.2.6 Цогцолбор зурган дээр огтлолцсон, параллель, огтлолцсон, єрсєлдєх шулуун гэсэн хоёр хэрчмийг тус тус барина.

3.2.7 A(25, 30, 10) цэгээр дамжуулан P 2 проекцуудын хавтгайтай 30 мм урттай параллель AB хэрчмийг 45 ° өнцгөөр P 1 өнцгөөр зур. В цэгийн координатыг тэмдэглэ. Бодлого хэдэн шийдэлтэй вэ?

3.2.8 АВ хэрчмийн бодит хэмжээ ба түүний P 1, P 2 хавтгайд налуу өнцгийг ол.А (60, 5, 10), В (10, 20.40) хэрчмийн цэгүүдийн координатыг ол.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ:

Даалгавар 1Өгөгдсөн A, B, C цэгүүдийн аль нь P 1 хавтгайд хамаарах вэ ?

Шийдвэр. Хэрэв цэг нь П 1 хавтгайд орвол түүний өндөр нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс, өгөгдсөн цэгүүдийн дунд та тэгтэй тэнцүү өндөртэй цэгийг хайх хэрэгтэй. Цэгийн өндрийг тухайн цэгийн урд талын проекцоос тэнхлэг хүртэлх зайгаар хэмждэг X 1 2, эсвэл профилын проекцоос тэнхлэг хүртэл 3. Хэрэв цэгийн өндөр нь тэг байвал цэгийн эдгээр проекцууд нь X 12 ба Y 3 тэнхлэгүүд дээр байх болно. Энэ нөхцөлийг цэгээр хангаж байна БАпроекцтой А 2тэнхлэг дээр байрладаг X 12, болон төсөөлөл А 3- тэнхлэг дээр 3. Тэгэхээр А цэг нь П 1 проекцуудын хэвтээ хавтгайд байрлана.

Цэг FROMмөн проекцын хавтгайд оршдог. Энэ нь түүний хэтийн төлөвийн байршлаар нотлогдож байна. 1-ээсболон 3-аастэнхлэгүүд дээр тус тус X 12болон Z23. Энэ нь цэг гэсэн үг юм FROMтэг гүн. Тиймээс П 2 проекцуудын урд талын хавтгайд оршдог.

В цэг нь проекцын аль ч хавтгайд оршдоггүй. Энэ нь сансар огторгуйд байрладаг.

Үүнтэй төстэй мэдээлэл.

1. Ортогональ проекцын арга

2. Цэг

4. Асуулт, даалгавар

Зөв бичгийн проекцын арга

Хэрэв проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгийн зайны талаарх мэдээллийг тоон тэмдэглэгээгээр бус, харин хоёр дахь проекцын хавтгай дээр баригдсан цэгийн хоёр дахь проекцийг ашиглан өгсөн бол зургийг гэнэ. хоёр зураг эсвэл цогц . Ийм зургийг бүтээх үндсэн зарчмуудыг тодорхойлсон болно Гаспард Монж - 18-р зууны сүүл ба 19-р зууны эхэн үеийн Францын томоохон геометр, 1789-1818. Парисын алдарт Политехникийн сургуулийг үүсгэн байгуулагчдын нэг, хэмжүүр, жингийн хэмжүүрийн системийг нэвтрүүлэх ажилд оролцогч.

Монжийн хоёр перпендикуляр проекцын хавтгайд ортогональ проекц хийх арга нь техникийн зураг зурах үндсэн арга байсан бөгөөд хэвээр байна.

Г.Монгэгийн санал болгосон аргын дагуу бид огторгуйд харилцан перпендикуляр хоёр проекцын хавтгайг авч үздэг.

Проекцийн хавтгайнуудын нэг П 1 хэвтээ байрлалтай, хоёр дахь нь П 2 - босоо. П 1 - хэвтээ проекцын хавтгай, П 2 - урд талын. Онгоцууд нь хязгааргүй, тунгалаг байдаг.

Проекцийн хавтгай нь орон зайг дөрвөн хоёр өнцөгт - дөрөвний нэг болгон хуваадаг. Ортогональ проекцуудыг авч үзвэл ажиглагч эхний улиралд проекцын хавтгайнуудаас хязгааргүй их зайд байна гэж үздэг (Зураг 89).

Проекцын хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг координатын тэнхлэг гэж нэрлээд тэмдэглэнэ x 21 .

Эдгээр онгоцууд тунгалаг байдаг тул зөвхөн эхний улиралд байрлах геометрийн объектууд ажиглагчид харагдах болно.

Заасан төсөөллөөс бүрдсэн хавтгай зургийг авахын тулд онгоц П 1 тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх замаар зэрэгцүүлсэн x 12 онгоцтой П 2 . Тэдгээр дээр дүрслэгдсэн бүх зүйлтэй проекцын хавтгайг бие биетэйгээ тодорхой байдлаар хослуулсан проекцын зургийг гэнэ. Монж диаграм эсвэл нарийн төвөгтэй зураг.

Геометрийн объектуудыг дараахь байдлаар хуваана. шугаман (цэг, шулуун, хавтгай), шугаман бус (муруй шугам, гадаргуу) ба нийлмэл (олон талт, нэг хэмжээст ба хоёр хэмжээст контур).

Цэг

Аливаа нарийн төвөгтэй геометрийн объектыг цэгүүдийн байрлал гэж үзэж, тэдгээрийн харилцан зохицуулалтаар объектын тухай ойлголтыг бий болгож, координатын системтэй харьцуулахад байршлаар нь түүний орон зай дахь байрлалыг шүүж болно.

Цэгнь геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Геометрийн системчилсэн тайлбарт цэгийг ихэвчлэн анхны ойлголтуудын нэг болгон авдаг.

Хоёр проекцын хавтгайн ортогональ систем дэх цэг

Проекцийг бүтээхдээ цэгийн хавтгай дээрх ортогональ проекц нь тухайн цэгээс энэ хавтгайд унасан перпендикулярын суурь гэдгийг санах нь зүйтэй. цэгийн хувьд БА түүний ортогональ проекцууд А 1 болон БА 2 , тэдгээрийг хэвтээ ба урд проекц гэж нэрлэдэг.

Цэгийн төсөөлөл нь үргэлж тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр байрладаг X 12 мөн цэг дээр энэ тэнхлэгийг огтолж байна БА X . Хэрэв проекцын хавтгай дээр цэгүүдийг өгвөл эсрэгээр нь бас үнэн болно БА 1 болон БА 2 тэнхлэгтэй огтлолцсон шулуун шугам дээр байрладаг X 12 цэг дээр БА X зөв өнцгөөр байвал тэдгээр нь зарим цэгийн проекц юм БА.

Монге проекцын талбай дээр А 1 болон БА 2 тэнхлэгтэй ижил перпендикуляр дээр байрладаг X 12 Үүний зэрэгцээ, зай БА 1 БА X - цэгийн хэвтээ проекцоос тэнхлэг хүртэлх зай нь тухайн цэгээс өөрөөсөө зайтай тэнцүү байна БА онгоц хүртэл П 2 , болон зай БА 2 БА X - цэгийн урд талын проекцоос тэнхлэг хүртэлх зай нь тухайн цэгээс өөрөөсөө зайтай тэнцүү байна БА онгоц хүртэл П 1 (Зураг 90).

Диаграм дээрх цэгийн эсрэг талын проекцуудыг холбосон шулуун шугамыг нэрлэдэг проекцын холбооны шугамууд .

Гурван проекцын хавтгайн ортогональ систем дэх цэг

Төрөл бүрийн геометрийн объектуудыг дүрслэх практикт зургийг илүү тодорхой болгохын тулд гурав дахь проекцын хавтгайг ашиглах шаардлагатай болдог. П 3 , перпендикуляр байрладаг П 1 болон П 2 . Проекцийн онгоцууд П 1 , П 2 болон П 3 гол проекцын хавтгайнууд (Зураг 91).

Гурав дахь хавтгай, перпендикуляр ба П 1 , болон П 2 , үсгээр тэмдэглэсэн П 3 ба профайл гэж нэрлэдэг.

Энэ хавтгай дээрх цэгүүдийн төсөөллийг латин цагаан толгойн том үсгээр эсвэл 3-р индекстэй тоогоор тэмдэглэв.

Хосоор огтлолцсон проекцын хавтгай нь гурван тэнхлэгийг тодорхойлдог Өө , OU болон Оз, цэг дээр гарал үүсэлтэй орон зай дахь декартын координатын систем гэж үзэж болно 0.

Хавтгайн проекцын гурван хавтгайн систем дэх цэгийн диаграммыг олж авах П 1 болон П 3 хавтгайтай зэрэгцэх хүртэл эргүүлнэ П 2 . Диаграм дээр тэнхлэгүүдийг тодорхойлохдоо сөрөг хагас тэнхлэгийг ихэвчлэн заадаггүй. Хэрэв проекцын хавтгайтай харьцуулахад түүний байрлал биш зөвхөн тухайн объектын дүрс нь чухал ач холбогдолтой бол диаграм дээрх тэнхлэгүүдийг харуулаагүй болно (Зураг 92).

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт декартын координатыг ашиглан цэгийн байрлалыг тогтооно x, y болон z (абсцисса, ординат ба хэрэглэх).

Цэгийн жишээн дээр ортогональ проекцуудын үндсэн шинж чанарыг томъёолъё.

1. Цэгийн хоёр проекц нь түүний орон зай дахь байрлалыг тодорхойлдог.

2. Цэгийн хоёр проекц нь нэг холбооны шугам дээр байрладаг.

3. Нэг цэгийн хоёр проекц дээр үндэслэн гурав дахь цэгийг байгуулж болно.

Шулуун шугам

Шулуун шугамнь геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Геометрийн системчилсэн тайлбарт шулуун шугамыг ихэвчлэн геометрийн аксиомоор шууд бусаар тодорхойлдог анхны ойлголтуудын нэг болгон авдаг. Хэрэв геометрийг бүтээх үндэс нь орон зайн хоёр цэгийн хоорондох зай гэсэн ойлголт юм бол шулуун шугамыг хоёр цэгийн хоорондох зай хамгийн богино байх шугам гэж тодорхойлж болно.

Шулуун шугам нь эхний эрэмбийн алгебрийн шугам юм: декартын координатын системд шулуун шугамыг хавтгай дээр 1-р зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгдөг.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл (бүрэн): Ax + Wu + C \u003d 0,

хаана А, Б болон FROM - аливаа тогтмол, ба БА болон AT нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Хэрэв коэффициентүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугамыг графикаар тодорхойлох арга замууд

1. Хоёр оноо (БА болон AT).

2. Хоёр онгоц (a; b).

3. Хоёр төсөөлөл.

4. Проекцын хавтгайнуудын хазайлтын цэг ба өнцөг.

Проекцын хавтгайтай харьцуулахад шулуун шугамын байрлал

Проекцын хавтгайтай шууд холбоотой энэ нь ерөнхий болон тусгай байрлалыг хоёуланг нь эзэлж болно.

1. Аливаа проекцын хавтгайтай параллель биш шулуун шугамыг гэнэ шууд ерөнхий байрлал .

2. Проекцын хавтгайтай параллель шулуун шугамууд нь орон зайд тодорхой байр суурь эзэлдэг ба тэдгээрийг дууддаг шууд түвшин . Өгөгдсөн шугам нь аль проекцын хавтгайтай параллель байгаагаас хамааран:

2.1. Урд талын хавтгайтай параллель шууд проекц гэж нэрлэдэг урд талынэсвэл урд тал- n.

2.2. Хэвтээ проекцын хавтгайтай параллель шулуун шугамуудыг гэнэ хэвтэээсвэл хэвтээ шугамууд -м.

2.3. Профайлын хавтгайтай параллель шууд проекц гэж нэрлэдэг профайл -Р.

3. Проекцын хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамууд нь орон зайд тодорхой байр суурь эзэлдэг ба тэдгээрийг гэнэ. төлөвлөх . Нэг проекцын хавтгайд перпендикуляр шугам нь нөгөө хоёртой параллель байна. Судалж буй шугам нь аль проекцын хавтгайд перпендикуляр байгаагаас хамааран:

3.1. Хэвтээ шугам - м.

3.2. Урд талын проекц шулуун шугам - n.

3.3. Процедурын шулуун шугам - p (Зураг 93).

ЛЕКЦИЙН ТОВЧХОН ХИЧЭЭЛ

"Инженерийн график" хичээл 1 улирал

цагийн оюутнуудад зориулсан

бүрэн болон богино хэмжээний хөтөлбөрүүд

Волгодонск 2013 он

1. ТӨСӨЛ ХИЙХ АРГА. НЭГДСЭН ЗУРАГ... 3

2. ШУУД ТӨСӨЛ .. 7

3. ОНГОЦНЫ ТӨСӨЛ.. 16

4. ЗУРАГ ХӨРВҮҮЛЭХ.. 29

5. ГАЗАР ГАЗАР.. 33

6. ГАЗРЫН ИЛЧИЛГЭЭ.. 50

1. ТӨСӨЛ хийх аргууд. НЭГДСЭН ЗУРАГ

Танилцуулга. Хичээлийн зорилго, зорилтууд

Математикийн нэвтэрхий толь бичигт “Дүрслэх геометр гэдэг нь орон зайн дүрс, түүнчлэн орон зайн асуудлыг шийдвэрлэх, судлах аргуудыг хавтгай дээрх дүрсийг ашиглан судалдаг геометрийн салбар юм” гэсэн тодорхойлолтыг өгсөн.

Дүрслэх геометрийн аргууд нь техникийн зургийн асуудлыг шийдвэрлэх онолын үндэс юм. Инженерийн хувьд зураг бол хүний ​​санааг илэрхийлэх гол хэрэгсэл юм. Тэд зөвхөн объектын хэлбэр, хэмжээг тодорхойлохоос гадна график дизайны хувьд маш энгийн бөгөөд үнэн зөв байх ёстой бөгөөд объект, тэдгээрийн бие даасан нарийн ширийн зүйлийг иж бүрэн судлахад тусална. Зураг, ноорог, зургийн тусламжтайгаар бодлоо зөв илэрхийлэхийн тулд геометрийн объектын дүрсийг бүтээх онолын үндэс, тэдгээрийн олон талт байдал, дүрслэх геометрийн сэдэв болох тэдгээрийн хоорондын харилцааны талаархи мэдлэг шаардлагатай.

Хоёр ба гурав дахь тэгш өнцөгт проекцын аргууд

Харилцан перпендикуляр проекцын хавтгай.

Цэгийн төсөөлөл, нарийн төвөгтэй зураг.

Монжийн арга, нийлмэл зураг.

Хэрэв проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгийн зайны талаарх мэдээллийг тоон тэмдэглэгээгээр бус, харин хоёр дахь проекцын хавтгай дээр баригдсан цэгийн хоёр дахь проекцийг ашиглан өгсөн бол зургийг гэнэ. хоёр зураг эсвэл цогц. Ийм зургийг бүтээх үндсэн зарчмуудыг тодорхойлсон болно Гаспард Монж - 18-р зууны сүүл ба 19-р зууны эхэн үеийн Францын томоохон геометр, 1789-1818. Парисын алдарт Политехникийн сургуулийг үүсгэн байгуулагчдын нэг, хэмжүүр, жингийн хэмжүүрийн системийг нэвтрүүлэх ажилд оролцогч.

Ийм дүрсийн аажмаар хуримтлагдсан тусдаа дүрэм, арга техникийг системд оруулж, Г.Монгийн "Геометрийн дүрслэл" бүтээлд боловсруулсан.

Монжийн хоёр перпендикуляр проекцын хавтгайд ортогональ проекц хийх арга нь техникийн зураг зурах үндсэн арга байсан бөгөөд хэвээр байна.

Г.Монгийн санал болгосон аргын дагуу бид огторгуйд харилцан перпендикуляр хоёр проекцын хавтгайг авч үздэг (Зураг 6). Проекцийн хавтгайнуудын нэг П 1 хэвтээ байрлалтай, хоёр дахь нь П 2 - босоо. П 1 - хэвтээ проекцын хавтгай, П 2 - урд талын. Онгоцууд нь хязгааргүй, тунгалаг байдаг.

Проекцийн хавтгай нь орон зайг дөрвөн хоёр өнцөгт - дөрөвний нэг болгон хуваадаг. Ортогональ проекцуудыг авч үзвэл ажиглагч эхний улиралд проекцын хавтгайнуудаас хязгааргүй хол зайд байна гэж үздэг.

Монге диаграмм буюу нийлмэл зураг гэдэг нь геометрийн дүрсийн хоёр ба түүнээс дээш хоорондоо холбогдсон ортогональ проекцуудаас бүрдсэн зураг юм.

Геометрийн дүрсүүдийн ортогональ проекцийг харуулахын тулд орон зайн зохион байгуулалтыг ашиглах нь том хэмжээтэй тул тохиромжгүй, мөн цаасан хуудсанд шилжүүлэхэд тооцоолсон дүрсийн хэлбэр, хэмжээ нь H ба W дээр гажигтай байдаг тул онгоцууд.
Тиймээс орон зайн байршлын зураг дээрх зургийн оронд Монж диаграммыг ашигладаг.

Монге диаграммыг H ба W хавтгайг урд талын проекцын V хавтгайтай хослуулан орон зайн байршлыг өөрчлөх замаар олж авна.
- H хавтгайг V-тэй зэрэгцүүлэхийн тулд цагийн зүүний дагуу x тэнхлэгийг тойрон 90 градус эргүүлнэ. Зураг дээр, тодорхой болгохын тулд онгоц Хтэнхлэг нь 90 градусаас бага зэрэг бага зэрэг өнцгөөр эргэлддэг y, хэвтээ проекцын хавтгайд хамаарах, эргэлтийн дараа тэнхлэгтэй давхцаж байна z;
- хэвтээ хавтгайг тэгшлэсний дараа тэнхлэгийг тойрон эргүүлнэ zмөн цагийн зүүний дагуу хөдөлгөөний эсрэг чиглэлд профилын хавтгайд 90 градусын өнцгөөр. Үүний зэрэгцээ тэнхлэг y, проекцын профилын хавтгайд хамаарах, эргүүлсний дараа тэнхлэгтэй давхцаж байна x.

Өөрчлөлтийн дараа орон зайн зохион байгуулалт нь зурагт үзүүлсэн хэлбэрийг авна. Энэ зураг нь мөн проекцын хавтгайн шалны харьцангуй байрлалын дарааллыг харуулсан тул бичлэг ВЭнэ нь Монге талбайн энэ хэсэгт (тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлээр хязгаарлагддаг) байгааг харуулж байна xболон z) урд талын проекцын хавтгайн зүүн дээд давхар нь бидэнд ойрхон байна В, түүний ард хэвтээ проекцын хавтгайн зүүн хойд давхар байна Х, дараа нь профиль онгоцны дээд арын давхарт В.

Онгоцууд нь хил хязгааргүй тул хосолсон байрлалд (диаграмм дээр) эдгээр хил хязгаарыг харуулаагүй тул проекцын хавтгайн шалны байрлалыг харуулсан бичээсийг үлдээх шаардлагагүй болно. Координатын тэнхлэгүүдийн сөрөг чиглэл хаана байгааг сануулах нь илүүц юм. Дараа нь орон зайн байршлын зургийг орлуулсан Монге диаграм нь эцсийн хэлбэрээр зурагт үзүүлсэн хэлбэрийг авна.

Монжийн схемийг дараахь байдлаар хийж болно.

- ердийн зургийн хэрэгсэл, бэхэлгээ:
Зурах хэрэгсэл;
Зурах хэрэгслүүд ба төхөөрөмжүүд;
- Monge диаграммыг бүтээх (зурах) програмууд: График засварлагч дээр зураг зурах.

Monge диаграммын дизайны жишээ болгон бид ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах асуудлыг шийдэх шийдлийг санал болгож байна.

- асуудлын нөхцөлөөр мэдэгдэж буй зүйл нь хараар харагдана;
- ногоон өнгөөр ​​асуудлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг бүх бүтцийг харуулсан;
- хайсан даалгаврууд улаанаар харагдана.
Асуудлын нөхцлийн дагуу ABC(A`B`C`, A»B»...") гурвалжны проекцуудыг өгсөн болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд дутуу C проекцийг олох шаардлагатай.