საინჟინრო ნახაზებში გამოიყენება მართკუთხა პროგნოზების მეთოდი. ამიტომ კურსის შემდგომ შესწავლას ორთოგონალური პროექციის მეთოდით ჩავატარებთ.

აღწერითი გეომეტრიის კურსის ორი ძირითადი ამოცანის ცალსახად გადასაჭრელად, ნახაზები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ მოთხოვნებს:

1. სიმარტივე და ხილვადობა;

2. ნახატის შექცევადობა.

პროექციის განხილული მეთოდები ერთსურათიანი ნახატების გამოყენებით პირდაპირი პრობლემის გადაჭრის საშუალებას იძლევა (ანუ მისი პროექციის აგება მოცემული ორიგინალიდან). თუმცა, საპირისპირო პრობლემა (ანუ ორიგინალის პროექციის გზით რეპროდუცირება) არ შეიძლება ცალსახად გადაწყდეს. ეს პრობლემა აღიარებს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებებს, რადგან ყოველი წერტილი A 1საპროექციო თვითმფრინავები P 1შეიძლება ჩაითვალოს საპროექციო სხივის ნებისმიერი წერტილის პროექცია ლ აგავლით A 1. ამრიგად, განხილულ ერთსურათიან ნახატებს არ გააჩნიათ თვისება შექცევადობა.

შექცევადი ერთსურათიანი ნახატების მისაღებად მათ ემატება საჭირო მონაცემები. ამის დამატების სხვადასხვა გზა არსებობს. Მაგალითად, ნახატები რიცხვებით.

მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ წერტილის პროექციასთან ერთად A 1წერტილის სიმაღლე დაყენებულია, ე.ი. მისი მანძილი საპროექციო სიბრტყიდან. ასევე დააყენეთ მასშტაბი. ეს მეთოდი გამოიყენება მშენებლობაში, არქიტექტურაში, გეოდეზიაში და ა.შ. თუმცა უნივერსალური არ არის რთული სივრცითი ფორმების ნახატების შესაქმნელად.

1798 წელს ფრანგმა გეომეტრ-ინჟინერმა გასპარ მონჟმა შეაჯამა იმ დროისთვის დაგროვილი თეორიული ცოდნა და გამოცდილება და პირველად მისცა მეცნიერული დასაბუთება გამოსახულების აგების ზოგადი მეთოდისთვის, შესთავაზა განიხილოს ბრტყელი ნახაზი, რომელიც შედგება ორი პროექციისგან, როგორც. ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული პროექციის სიბრტყის გაერთიანების შედეგი. სწორედ აქედან იღებს სათავეს ნახატების აგების პრინციპი, რომელსაც დღემდე ვიყენებთ.

მოდით დავსვათ სეგმენტის პროგნოზების აგების ამოცანა ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ პროექციის სიბრტყეში P 1და P 2.

1. სივრცითი მოდელი.

P 1 ^ P 2 . AA 1 ^ P 1 ; |AA 1 | - მანძილი A-დან P 1-მდე.

AA 2^ P 2 ;|AA 2| - მანძილიდან დაადრე P 2 .

P 1- ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე;

P 2- შუბლის პროექციის თვითმფრინავი.

A 1 B 1- სეგმენტის ჰორიზონტალური პროექცია;

A 2 B 2- სეგმენტის შუბლის პროექცია.

x 12- საპროექციო სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი.

თუმცა, ამ ფორმით ნახატი არასასიამოვნოა წასაკითხად. ამიტომ, გასპარ მონჯმა შესთავაზა ამ პროექციის სიბრტყეების გაერთიანება, უფრო მეტიც, P მიიღება ნახატის სიბრტყედ, ხოლო P ბრუნავს, რომ დაემთხვა P 2. ასეთ ნახატს კომპლექსურ ნახატს უწოდებენ.

2. ბინა მოდელი.

განვიხილოთ საპროექციო სიბრტყეების კომბინაცია მთელი მათი შინაარსით ბრტყელ ნახატში. სივრცის წერტილების სიმრავლის პროგნოზების სიმრავლე P 1ეწოდება ჰორიზონტალური პროექციის ველი და P 2- შუბლის პროექციის ველი.

x 12- პროექციის ღერძი, საცნობარო ბაზა.

A 1 A 2, B 1 B 2 Þ შეერთების ხაზი არის სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს წერტილის ორ პროექციას კომპლექსურ ნახაზზე. კავშირის ხაზი პროექციის ღერძის პერპენდიკულარულია.

მონჯის ორსურათიანი რთული ნახაზის თვისებები:

1. წერტილის ორი პროექცია ყოველთვის დევს დადგენილი მიმართულების ერთსა და იმავე საკომუნიკაციო ხაზზე.

2. ერთი დადგენილი მიმართულების ყველა საკომუნიკაციო ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

3. ღერძიანი ნახაზი.

თუ გაერთიანებული თვითმფრინავები P 1და P 2გადაადგილდებიან საკუთარი თავის პარალელურად თვითნებურ დისტანციებზე (იხ. ღერძების პოზიცია x 12, x 12 1, x 12 11ნახ. 1-17), შემდეგ შეიცვლება მანძილი ფიგურიდან პროექციის სიბრტყემდე.

თუმცა, თავად ფიგურის პროგნოზები (ამ შემთხვევაში, სეგმენტი AB) არ იცვლება პროექციის სიბრტყეების პარალელურად გადაადგილებისას (პარალელური პროექციის 7 თვისების მიხედვით).

ნახ. 1-17 ჩანს. რომ ღერძის ნებისმიერი პოზიციისთვის X, რაოდენობით დზ- განსხვავება დისტანციებში სეგმენტის ბოლოებიდან P 1, და Dy- განსხვავება დისტანციებში სეგმენტის ბოლოებიდან P 2, უცვლელი რჩება. ამიტომ, არ არის საჭირო ღერძის პოზიციის დაზუსტება x 12კომპლექსურ ნახაზზე და ამით წინასწარ განსაზღვრეთ პროექციის სიბრტყეების პოზიცია P 1და P 2კოსმოსში.

ეს გარემოება ხდება ინჟინერიაში გამოყენებულ ნახაზებში და ასეთ ნახატს ე.წ ღერძიანი.

მოდით ავხსნათ ზემოთ აღნიშნული კონკრეტული მაგალითით.

Დავალება:გააკეთეთ ნახატი მაგიდის დასამზადებლად (სურ. 1-18).

1. ააგეთ ცხრილის სამი პროექცია მონჯის დიაგრამის თვისებების გათვალისწინებით.

2. რა აკლია შესასრულებლად ამ პროდუქტის ნახაზის მიხედვით?

3. დიახ, რა თქმა უნდა, ზომები.

ახლა, როდესაც პროდუქტის სამი გამოსახულება და მისი ზომებია, აქვს თუ არა მნიშვნელობა პროდუქტიდან საპროექციო სიბრტყემდე მანძილებს პროდუქტის წარმოებისთვის, ანუ ღერძებთან დაკავშირებისთვის. x, წდა ზ(ზომები 1500, 2000, 2000 ნახაზზე).

არა, არა!

ამ ნახაზის მიხედვით, პროდუქტი იქმნება და რა მანძილზე უნდა დამონტაჟდეს კედლებიდან ( P 2, P 3) სხვა საკითხია.

ღერძების გარეშე ნახაზი საშუალებას იძლევა, ცულებზე მიბმის გარეშე, მოათავსოთ სურათები შემსრულებლისთვის მოსახერხებელ მდგომარეობაში, მაგრამ პროექციის ურთიერთობის დაცვით, ე.ი. ნახატის აგება ხდება გასპარ მონჯის მიერ დადგენილი კანონების მიხედვით

შესავალი

აღწერილობითი გეომეტრია სწავლობს სივრცითი გეომეტრიული ობიექტების ბრტყელი გამოსახულების აგების მეთოდებს, მათ გეომეტრიულ თვისებებს და ამ სურათებზე სივრცითი გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრის მეთოდებს, რაც აუცილებელია მომავალი სპეციალისტებისთვის ნახატების საწარმოო საქმიანობაში გამოყენებისას.

მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები განკუთვნილია სტუდენტებისთვის თვითმომზადების ლაბორატორიული გაკვეთილებისთვის აღწერილ გეომეტრიაში.

სახელმძღვანელოში განხილული ამოცანები დაჯგუფებულია თემების მიხედვით და გამოიყენება მოსწავლეების მიერ მომდევნო გაკვეთილისთვის თვითმომზადებისას. ამისათვის მათ უნდა:

ამოხსნა დავალებებიწინა თემა;

მოცემულ თემაზე თეორიული მასალის შესწავლა და თვითკონტროლის კითხვებზე პასუხის გაცემა;

გაიქეცი სავარჯიშოებიმოცემულ თემაზე;

ნაწილი დავალებებითემაზე ხსნიან ლაბორატორიულ გაკვეთილებზე მასწავლებლის დახმარებით, ნაწილი კი მოცემულია სახლის გადაწყვეტისთვის.

გაკვეთილის დასაწყისში მასწავლებელი ამოწმებს მოსწავლეების მიერ დამოუკიდებლად ამოხსნილ წინა თემის ამოცანებს, მოსწავლეთა თეორიულ მომზადებას და მოცემულ თემაზე სავარჯიშოების ამოხსნას. ყოველი თემის ბოლოს, ტიპიური პრობლემის გადაჭრის მაგალითიეტაპობრივი ნახატებით. ახალი თემის სავარჯიშოების ამოხსნის დაწყებისას, სასარგებლოა გაეცნოთ შესაბამის მაგალითს და მიჰყვეთ მას ნახატის დიზაინში. ყოველი თემის ბოლოს არის დამატებითი დავალებები. სტუდენტების მიერ დამატებითი ამოცანების სწორად გადაწყვეტა მათ შესაძლებლობას აძლევს მიიღონ აღწერითი გეომეტრიის ოლიმპიადაში, რომელიც ტარდება სემესტრის ბოლოს კურსში ძლიერი სტუდენტების გამოსავლენად. სახელმძღვანელოს დანართში მოცემულია ტესტები ცოდნის თვითკონტროლის თემებზე, შესწავლილ მასალაზე.

სახელმძღვანელოსთან მუშაობის პროცესში მოსწავლეები სწავლობენ პრობლემების გადაჭრისას გამოყენებულ პრაქტიკულ ხერხებს, რაც მათ დამოუკიდებლად გადაჭრის უნარ-ჩვევებისა და შესაძლებლობების გამომუშავების საშუალებას აძლევს. ამ გამოცდილების დაგროვებასთან ერთად, სტუდენტი იწყებს დამოუკიდებელ აზროვნებას პროფესიულ დონეზე.

მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები გადაწყვეტის და

ამოცანების ფორმირება

პრობლემების გადაჭრისას უნდა იხელმძღვანელოთ შემდეგი რეკომენდაციებით:

1. გეომეტრიული ფიგურების პროგნოზების მიხედვით, რომლებიც ქმნიან პრობლემის საწყის მონაცემებს, წარმოიდგინეთ მათი ფორმა და ფარდობითი პოზიცია სივრცეში როგორც ერთმანეთთან, ისე პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში.

2. დახაზეთ პრობლემის გადაჭრის „სივრცითი“ გეგმა და დაადგინეთ გეომეტრიული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა, რომლის დახმარებითაც შესაძლებელია ამოცანის პასუხის მიღება. ამოცანის ამოხსნის ამ ეტაპზე უნდა მივმართოთ თეორემებს ელემენტარული გეომეტრიის სექციების „პლანიმეტრია“ და „სტერეომეტრია“, ასევე თეორიული მასალა სახელმძღვანელოებსა და ლექციებში.

3. ამოცანის ამოხსნის ალგორითმის განსაზღვრა, მიღებული აღნიშვნისა და ტერმინოლოგიის გამოყენებით მოკლედ ჩამოწერეთ გრაფიკული კონსტრუქციების თანმიმდევრობა.

4. გააგრძელეთ გეომეტრიული კონსტრუქციები პარალელური პროექციის უცვლელი თვისებების გამოყენებით. პირველი ორი პუნქტის შესრულებისას ასევე სასარგებლოა გადაწყვეტილებების შესაძლო რაოდენობის დადგენა და მათი დამოკიდებულების მიზეზები.

5. გასათვალისწინებელია, რომ გეომეტრიული კონსტრუქციების შესრულებისას პრობლემის გადაჭრის ნებისმიერ ეტაპზე შესაძლებელია მათი განხორციელების სისწორის კონტროლი. ეს განსაკუთრებით ღირებულია, იმის გათვალისწინებით, რომ აღწერილობითი გეომეტრიის პრობლემური წიგნები არ შეიცავს პასუხებს. კონტროლი ეფუძნება პარალელური პროექციის ინვარიანტულ თვისებებს და სტერეომეტრიის სასკოლო კურსის თეორემებს.

პრობლემის გრაფიკულად გადაჭრისას პასუხის სიზუსტე დამოკიდებულია არა მხოლოდ მისი გადაჭრის სწორი გზის არჩევანზე, არამედ გეომეტრიული კონსტრუქციების სიზუსტეზეც. ამიტომ, პრობლემის გადაჭრისას აუცილებელია ხატვის ხელსაწყოების გამოყენება. ამოცანები უნდა გადაწყდეს გალიაში ცალკე რვეულში ლაბორატორიული სავარჯიშოებისთვის. ხაზების ტიპი და სისქე ხორციელდება GOST 2.303-68 ESKD-ის შესაბამისად. კონსტრუქციები დამზადებულია ფანქრით. ამოხსნის პროცესში მიღებული ნახატის წაკითხვის გასაადვილებლად მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ფერადი ფანქრები: მოცემული ელემენტები გამოკვეთილია შავით, დამხმარე კონსტრუქციები ლურჯით, სასურველი ელემენტები წითლად. იგივე მიზანი მიიღწევა ყველა წერტილისა და ხაზის სავალდებულო აღნიშვნით. ამ შემთხვევაში აღნიშვნა უნდა მოხდეს პრობლემის გადაჭრის პროცესში წრფის გაყვანის ან ხაზების გადაკვეთის წერტილის განსაზღვრისთანავე. წარწერები და ასოების აღნიშვნები უნდა გაკეთდეს სტანდარტული შრიფტით GOST 2.304-84 ESKD-ის შესაბამისად.

გამოცდაზე მასწავლებელს ეძლევა რვეული ამოხსნილი ამოცანებით.

მიღებული დასახელებები

Ა Ბ Გ Დ,…ან 1, 2, 3, 4, ... - წერტილის აღნიშვნა; ლათინური ანბანის დიდი ასოები ან არაბული ციფრები.

o - წერტილის გამოსახულება (წერტილის მდებარეობის არე); წრე 2-3 მმ დიამეტრით წვრილი ხაზით ხელით.

ა ბ გ დ,... - ხაზი სივრცეში; ლათინური ანბანის მცირე ასოები.

Γ, Σ, Δ,… - თვითმფრინავები, ზედაპირები; ბერძნული ანბანის დიდი ასოები.

α, β, γ, δ, ... - კუთხეები; ბერძნული ანბანის მცირე ასოები.

P -საპროექციო თვითმფრინავი (სურათის სიბრტყე); ბერძნული ანბანის დიდი ასო (pi).

AB- ხაზი, რომელიც გადის წერტილებს და და AT .

[AB]- წერტილებით შემოსაზღვრული სეგმენტი და და AT .

[AB ) არის წერტილით შემოსაზღვრული სხივი და და წერტილის გავლით AT.

/AB /–სეგმენტის ბუნებრივი ზომა[ AB] (უდრის ორიგინალს).

/Აა /–დაშორება წერტილიდან და ხაზამდე ა.

/AΣ /–დაშორება წერტილიდან და თვითმფრინავამდე Σ .

/აბ /– მანძილი ხაზებს შორის ა და ბ.

/GD / - მანძილი G და D ზედაპირებს შორის.

≡- დამთხვევა (A≡B - წერტილები A და B ემთხვევა).

║ - პარალელურად.

^ - პერპენდიკულარული.

∩ - კვეთა.

О - ეკუთვნის, არის კომპლექტის ელემენტი.

^ - კუთხე, მაგალითად a^b - კუთხე a და b წრფეებს შორის.

Ð α - კუთხე α (ან რიცხვი გრადუსებში).

RABC - კუთხე B წერტილთან წვეროსთან.

ნიშნების გამოსახულება უნდა შესრულდეს ტექნიკური და სამეცნიერო დოკუმენტაციის დიზაინის მიღებული სტანდარტების შესაბამისად.

საგანი 1 MONGE-ს ინტეგრირებული ნახაზი

(წერტილი, ხაზი )

თვითკონტროლის კითხვები

1. ორთოგონალური პროექციის თვისებები.

2. რა ელემენტები შედის საპროექციო აპარატში?

3. რას ეწოდება პროექციის ღერძი?

4. რას ჰქვია წერტილის პროექცია?

5. რომელ სწორ ხაზებს ჰქვია „ბმულის ხაზები“ და როგორ განლაგებულია ისინი პროექციის ღერძთან მიმართებაში?

6. შეგიძლიათ აღადგინოთ წერტილის პოზიცია სივრცეში მისი პროექციებით?

7. როგორ შეიძლება სწორი ხაზის დაყენება რთულ ნახაზზე?

8. რომელ ხაზებს უწოდებენ ზოგადი და ნაწილობრივი პოზიციის ხაზებს? შექმენით რთული ნახაზი.

9. როგორ მდებარეობს სივრცეში ორი ხაზი ერთმანეთთან შედარებით?

10. რას ჰქვია სწორი ხაზის კვალი?

3.1 რთული წერტილის ნახაზი

Სავარჯიშოები

3.1.5. ნახაზზე მოცემული A, B ან C წერტილებიდან რომელი ეკუთვნის P 1 სიბრტყეს?

3.1.6 ვიზუალურ ნახატზე (სურათი 3.1) ააგეთ A 2, B 1, C 1 და D 2 წერტილების A 2, B 1, C 1 და D 2 პროექციები. დაადგინეთ რომელ კვარტალებში მდებარეობს ეს წერტილები?

სურათი 3.1

Დავალებები

3.2 კომპლექსური ნახაზი სწორი

Სავარჯიშოები

Დავალებები

3.2.6 კომპლექსურ ნახაზზე აგებულია ორი სეგმენტი, შესაბამისად, გადამკვეთი, პარალელური, გადამკვეთი და კონკურენტი სწორი ხაზები.

3.2.7 A წერტილის მეშვეობით (25, 30, 10) დახაზეთ AB სეგმენტი, პროგნოზების სიბრტყის პარალელურად P 2 30 მმ სიგრძით 45 °-დან P 1-მდე კუთხით. ჩაწერეთ B წერტილის კოორდინატები. რამდენი ამონახსნი აქვს პრობლემას?

3.2.8 იპოვეთ AB მონაკვეთის რეალური ზომა და მისი დახრილობის კუთხეები P 1, P 2 სიბრტყეების მიმართ. A (60, 5, 10), B (10, 20.40) მონაკვეთის წერტილების კოორდინატები.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები:

დავალება 1მოცემული A, B, C წერტილებიდან რომელი ეკუთვნის P 1 სიბრტყეს ?

გადაწყვეტილება. თუ წერტილი მდგომარეობს П 1 სიბრტყეში, მაშინ მისი სიმაღლე ნულის ტოლია. მაშასადამე, მოცემულ წერტილებს შორის, თქვენ უნდა მოძებნოთ წერტილი სიმაღლით ნულის ტოლი. წერტილის სიმაღლე იზომება მანძილით ან წერტილის შუბლის პროექციადან ღერძამდე X 1 2, ან პროფილის პროექციადან ღერძამდე 3. და თუ წერტილის სიმაღლე არის ნული, მაშინ წერტილის ეს პროგნოზები განლაგდება X 12 და Y 3 ღერძებზე. ეს პირობა აკმაყოფილებს პუნქტს და, რომელსაც აქვს პროექცია A 2ღერძზე დევს X 12და პროექცია A 3- ღერძზე 3. ასე რომ წერტილი A მდებარეობს П 1 პროგნოზების ჰორიზონტალურ სიბრტყეში.

Წერტილი FROMასევე დევს საპროექციო სიბრტყეში. ამას მოწმობს მისი პროგნოზების მდებარეობა. 1-დანდა 3-დანშესაბამისად ცულებზე X 12და Z23. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი FROMნულოვანი სიღრმე. მაშასადამე, იგი დევს პროგნოზების П 2 ფრონტალურ სიბრტყეში.

წერტილი B არ დევს არცერთ პროექციის სიბრტყეში. ის მდებარეობს სივრცეში.

მსგავსი ინფორმაცია.

1. ორთოგონალური პროექციის მეთოდი

2. წერტილი

4. კითხვები და ამოცანები

ორთოგრაფიული პროექციის მეთოდი

თუ ინფორმაცია წერტილის მანძილის შესახებ საპროექციო სიბრტყესთან მიმართებაში მოცემულია არა რიცხვითი ნიშნის გამოყენებით, არამედ მეორე პროექციის სიბრტყეზე აგებული წერტილის მეორე პროექციის გამოყენებით, მაშინ ნახატი ე.წ. ორსურათიანი ან ყოვლისმომცველი . ჩამოყალიბებულია ასეთი ნახატების აგების ძირითადი პრინციპები გასპარ მონგე - მე-18 საუკუნის ბოლოს და მე-19 საუკუნის დასაწყისის მთავარი ფრანგი გეომეტრი, 1789-1818 წწ. პარიზის ცნობილი პოლიტექნიკური სკოლის ერთ-ერთი დამფუძნებელი და ზომებისა და წონების მეტრული სისტემის დანერგვის სამუშაოების მონაწილე.

მონჯის ორთოგონალური პროექციის მეთოდი ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ საპროექციო სიბრტყეზე იყო და რჩება ტექნიკური ნახაზების შედგენის მთავარ მეთოდად.

G. Monge-ს მიერ შემოთავაზებული მეთოდის შესაბამისად განვიხილავთ სივრცეში ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ პროექციის სიბრტყეს.

ერთ-ერთი საპროექციო თვითმფრინავი პ 1 მოთავსებულია ჰორიზონტალურად, ხოლო მეორე პ 2 - ვერტიკალურად. პ 1 - ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე, პ 2 - ფრონტალური. თვითმფრინავები უსასრულო და გაუმჭვირვალეა.

საპროექციო სიბრტყეები სივრცეს ყოფს ოთხ დიედრალურ კუთხედ - მეოთხედებად. ორთოგონალური პროექციების გათვალისწინებით, ვარაუდობენ, რომ დამკვირვებელი პირველ მეოთხედში იმყოფება პროექციის სიბრტყეებიდან უსასრულოდ დიდ მანძილზე (სურ. 89).

საპროექციო სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს კოორდინატთა ღერძი ეწოდება და აღინიშნება x 21 .

ვინაიდან ეს სიბრტყეები გაუმჭვირვალეა, დამკვირვებლისთვის ხილული იქნება მხოლოდ ის გეომეტრიული ობიექტები, რომლებიც განლაგებულია იმავე პირველ მეოთხედში.

ბრტყელი ნახაზის მისაღებად, რომელიც შედგება მითითებული პროგნოზებისგან, თვითმფრინავი პ 1 გასწორებულია ღერძის გარშემო ბრუნვით x 12 თვითმფრინავით პ 2 . საპროექციო ნახატი, რომელშიც საპროექციო სიბრტყეები ყველაფერთან ერთად, რაც მათზეა გამოსახული, გარკვეული გზით ერთმანეთთან შერწყმული, ე.წ. მონჯის დიაგრამა ან რთული ნახატი.

გეომეტრიული ობიექტები იყოფა: ხაზოვანი (წერტილი, ხაზი, სიბრტყე), არაწრფივი (მრუდის ხაზი, ზედაპირი) და კომპოზიტური (პოლიედრები, ერთგანზომილებიანი და ორგანზომილებიანი კონტურები).

Წერტილი

ნებისმიერი სირთულის გეომეტრიული ობიექტი შეიძლება ჩაითვალოს წერტილების ლოკუსად, მათი ურთიერთგანლაგებით, რომელსაც შეუძლია შექმნას იდეა ობიექტის შესახებ და მათი მდებარეობით კოორდინატთა სისტემასთან მიმართებაში, შეიძლება ვიმსჯელოთ მის პოზიციაზე სივრცეში.

Წერტილიარის გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. გეომეტრიის სისტემურ ექსპოზიციაში, წერტილი ჩვეულებრივ აღებულია, როგორც ერთ-ერთი საწყისი კონცეფცია.

წერტილი ორი პროექციის სიბრტყის ორთოგონალურ სისტემაში

პროექციის აგებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ წერტილის ორთოგონალური პროექცია სიბრტყეზე არის მოცემული წერტილიდან ამ სიბრტყეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. წერტილისთვის და მისი ორთოგონალური პროგნოზები ა 1 და და 2 , რომლებსაც შესაბამისად ჰორიზონტალურ და ფრონტალურ პროექციებს უწოდებენ.

წერტილოვანი პროგნოზები ყოველთვის განლაგებულია ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე X 12 და ამ ღერძის გადაკვეთა წერტილში და X . საპირისპირო ასევე მართალია, ანუ თუ პუნქტები მოცემულია პროექციის სიბრტყეებზე და 1 და და 2 მდებარეობს ღერძის გადამკვეთ სწორ ხაზზე X 12 წერტილში და X სწორი კუთხით, მაშინ ისინი რაღაც წერტილის პროექციაა და.

მონჯის პროექციის სიუჟეტზე ა 1 და და 2 მდებარეობს ღერძის იმავე პერპენდიკულარულზე X 12 ამავე დროს, მანძილი და 1 და X - წერტილის ჰორიზონტალური პროექციიდან ღერძამდე უდრის მანძილს თავად წერტილიდან და თვითმფრინავამდე პ 2 , და მანძილი და 2 და X - წერტილის შუბლის პროექციადან ღერძამდე უდრის მანძილს თავად წერტილიდან და თვითმფრინავამდე პ 1 (სურ. 90).

დიაგრამაზე წერტილის საპირისპირო პროგნოზების დამაკავშირებელი სწორი ხაზები ეწოდება საპროექციო საკომუნიკაციო ხაზები .

წერტილი სამი პროექციის სიბრტყის ორთოგონალურ სისტემაში

სხვადასხვა გეომეტრიული ობიექტების გამოსახვის პრაქტიკაში, იმისათვის, რომ ნახატი უფრო ნათელი გახდეს, საჭირო ხდება მესამე პროფილის საპროექციო სიბრტყის გამოყენება. პ 3 , მდებარეობს პერპენდიკულარულად პ 1 და პ 2 . პროექციის თვითმფრინავები პ 1 , პ 2 და პ 3 არის მთავარი პროექციის სიბრტყეები (სურ. 91).

მესამე სიბრტყე, პერპენდიკულარული და პ 1 , და პ 2 , აღინიშნება ასოთი პ 3 და ჰქვია პროფილი.

ამ სიბრტყეზე წერტილების პროგნოზები მითითებულია ლათინური ანბანის დიდი ასოებით ან რიცხვებით 3 ინდექსით.

პროექციის სიბრტყეები, რომლებიც იკვეთება წყვილებში, განსაზღვრავს სამ ღერძს ოჰ , OU და ოზი, რომელიც შეიძლება მივიჩნიოთ სივრცეში დეკარტის კოორდინატთა სისტემად, სადაც საწყისი წერტილია 0.

სიბრტყის პროგნოზების სამი სიბრტყის სისტემაში წერტილის დიაგრამის მისაღებად პ 1 და პ 3 როტაცია თვითმფრინავთან გასწორებამდე პ 2 . დიაგრამაზე ღერძების აღნიშვნისას, უარყოფითი ნახევარღერძები ჩვეულებრივ არ არის მითითებული. თუ მხოლოდ თავად ობიექტის გამოსახულებაა მნიშვნელოვანი და არა მისი პოზიცია პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში, მაშინ დიაგრამაზე ღერძები არ არის ნაჩვენები (ნახ. 92).

სამგანზომილებიან სივრცეში წერტილის პოზიცია დგინდება მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების გამოყენებით x, y და ზ (აბსციზა, ორდინატი და მიმართვა).

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ორთოგონალური პროგნოზების ძირითადი თვისებები წერტილის მაგალითის გამოყენებით:

1. წერტილის ორი პროექცია განსაზღვრავს მის პოზიციას სივრცეში.

2. წერტილის ორი პროექცია დევს ერთსა და იმავე საკომუნიკაციო ხაზზე.

3. წერტილის ორ პროექციაზე დაყრდნობით შეიძლება აშენდეს მესამე.

Სწორი ხაზი

Სწორი ხაზიარის გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. გეომეტრიის სისტემატურ ექსპოზიციაში, როგორც წესი, სწორი ხაზი მიიღება, როგორც ერთ-ერთი საწყისი კონცეფცია, რომელიც მხოლოდ ირიბად განისაზღვრება გეომეტრიის აქსიომებით. თუ გეომეტრიის აგების საფუძველი არის სივრცეში ორ წერტილს შორის მანძილის კონცეფცია, მაშინ სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ხაზი, რომლის გასწვრივ ორ წერტილს შორის მანძილი ყველაზე მოკლეა.

სწორი ხაზი არის პირველი რიგის ალგებრული ხაზი: დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი მოცემულია სიბრტყეზე 1-ლი ხარისხის განტოლებით (წრფივი განტოლება).

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება (სრული): Axe + Wu + C \u003d 0,

სადაც A, B და FROM - ნებისმიერი მუდმივი და და და AT არ არის ერთდროულად ნულის ტოლი. თუ ერთ-ერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია, განტოლებას არასრული ეწოდება.

სწორი ხაზის გრაფიკულად განსაზღვრის გზები

1.ორი ქულა (და და AT).

2. ორი თვითმფრინავი (a; b).

3. ორი პროექცია.

4. დახრილობის წერტილი და კუთხეები პროექციის სიბრტყეებზე.

სწორი ხაზის პოზიცია პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში

პირდაპირ პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში, მას შეუძლია დაიკავოს როგორც ზოგადი, ასევე კონკრეტული პოზიციები.

1. სწორი ხაზი, რომელიც არ არის პარალელურად რომელიმე პროექციის სიბრტყის, ეწოდება პირდაპირი ზოგადი პოზიცია .

2. სწორი ხაზები პროექციის სიბრტყეების პარალელურად იკავებენ გარკვეულ პოზიციას სივრცეში და ე.წ. პირდაპირი დონე . იმისდა მიხედვით, თუ რომელ საპროექციო სიბრტყეს არის მოცემული ხაზი პარალელურად, არსებობს:

2.1. შუბლის სიბრტყის პარალელურად პირდაპირ პროგნოზებს უწოდებენ ფრონტალურიან ფრონტალები- ნ.

2.2. ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის პარალელურ სწორ ხაზებს უწოდებენ ჰორიზონტალურიან ჰორიზონტალური ხაზები -მ.

2.3. პროფილის სიბრტყის პარალელურად პირდაპირ პროგნოზებს უწოდებენ პროფილი -რ.

3. საპროექციო სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზები იკავებს კონკრეტულ პოზიციას სივრცეში და ე.წ. პროექტირება . ერთი საპროექციო სიბრტყის პერპენდიკულარული ხაზი არის დანარჩენი ორის პარალელურად. იმისდა მიხედვით, თუ რომელ საპროექციო სიბრტყესთან არის გამოკვლეული ხაზი პერპენდიკულარული, არსებობს:

3.1. ჰორიზონტალურად საპროექტო ხაზი - მ.

3.2. ფრონტალურად გამოსახული სწორი ხაზი - n.

3.3. პროფილის პროექციული სწორი ხაზი - p (სურ. 93).

ლექციების მოკლე კურსი

დისციპლინა „საინჟინრო გრაფიკა“ 1 სემესტრი

ნახევარ განაკვეთზე სტუდენტებისთვის

სრული და მოკლე პროგრამები

ვოლგოდონსკი 2013 წ

1. პროექციის მეთოდები. ინტეგრირებული ნახაზი... 3

2. პირდაპირი პროგნოზები.. 7

3. თვითმფრინავის პროგნოზები.. 16

4. ნახატის კონვერტაცია.. 29

5. ზედაპირები.. 33

6. ზედაპირების გამოვლენა.. 50

1. პროექციის მეთოდები. ინტეგრირებული ნახაზი

შესავალი. კურსის მიზანი და ამოცანები

მათემატიკურ ენციკლოპედიურ ლექსიკონში მოცემულია შემდეგი განმარტება: ”აღწერითი გეომეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელშიც სივრცითი ფიგურები, ისევე როგორც სივრცითი ამოცანების გადაჭრისა და შესწავლის მეთოდები, შეისწავლება სიბრტყეზე მათი გამოსახულებების გამოყენებით”.

ტექნიკური ნახაზის ამოცანების გადაჭრის თეორიული საფუძველია აღწერითი გეომეტრიის მეთოდები. ინჟინერიაში ნახატები ადამიანის იდეების გამოხატვის მთავარი საშუალებაა. მათ არა მხოლოდ უნდა განსაზღვრონ ობიექტების ფორმა და ზომა, არამედ უნდა იყვნენ საკმაოდ მარტივი და ზუსტი გრაფიკულ დიზაინში, დაეხმარონ ობიექტების და მათი ინდივიდუალური დეტალების ყოვლისმომცველ შესწავლას. იმისათვის, რომ სწორად გამოხატოთ თქვენი აზრები ნახატის, ესკიზის, ნახატის დახმარებით, საჭიროა გეომეტრიული ობიექტების გამოსახულების აგების თეორიული საფუძვლების ცოდნა, მათი მრავალფეროვნება და მათ შორის ურთიერთობა, რაც აღწერითი გეომეტრიის საგანია.

ორ და სამზე მართკუთხა პროექციის მეთოდები

ორმხრივი პერპენდიკულარული პროექციის სიბრტყეები.

წერტილოვანი პროგნოზები, რთული ნახაზი.

მონჯის მეთოდი, რთული ნახაზი.

თუ ინფორმაცია წერტილის მანძილის შესახებ საპროექციო სიბრტყესთან მიმართებაში მოცემულია არა რიცხვითი ნიშნის გამოყენებით, არამედ მეორე პროექციის სიბრტყეზე აგებული წერტილის მეორე პროექციის გამოყენებით, მაშინ ნახატი ე.წ. ორსურათიანი ან ყოვლისმომცველი. ჩამოყალიბებულია ასეთი ნახატების აგების ძირითადი პრინციპები გასპარ მონგე - მე-18 საუკუნის ბოლოს და მე-19 საუკუნის დასაწყისის მთავარი ფრანგი გეომეტრი, 1789-1818 წწ. პარიზის ცნობილი პოლიტექნიკური სკოლის ერთ-ერთი დამფუძნებელი და ზომებისა და წონების მეტრული სისტემის დანერგვის სამუშაოების მონაწილე.

ასეთი გამოსახულების თანდათანობით დაგროვილი ცალკეული წესები და ტექნიკა სისტემაში შემოიტანეს და განვითარდა გ.მონგეს ნაშრომში „გეომეტრიული აღწერილობითი“.

მონჯის ორთოგონალური პროექციის მეთოდი ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ საპროექციო სიბრტყეზე იყო და რჩება ტექნიკური ნახაზების შედგენის მთავარ მეთოდად.

G. Monge-ს მიერ შემოთავაზებული მეთოდის შესაბამისად განვიხილავთ სივრცეში ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ პროექციის სიბრტყეს (ნახ. 6). ერთ-ერთი საპროექციო თვითმფრინავი პ 1 მოთავსებულია ჰორიზონტალურად, ხოლო მეორე პ 2 - ვერტიკალურად. პ 1 - ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე, პ 2 - ფრონტალური. თვითმფრინავები უსასრულო და გაუმჭვირვალეა.

საპროექციო სიბრტყეები სივრცეს ყოფს ოთხ დიედრალურ კუთხედ - მეოთხედებად. ორთოგონალური პროექციების გათვალისწინებით, ვარაუდობენ, რომ დამკვირვებელი პირველ მეოთხედში იმყოფება პროექციის სიბრტყეებიდან უსასრულოდ დიდ მანძილზე.

მონგის დიაგრამა ან რთული ნახაზი არის ნახატი, რომელიც შედგება გეომეტრიული ფიგურის ორი ან მეტი ურთიერთდაკავშირებული ორთოგონალური პროექციისგან.

სივრცითი განლაგების გამოყენება გეომეტრიული ფიგურების ორთოგონალური პროგნოზების გამოსატანად მოუხერხებელია მისი მოცულობის გამო და ასევე იმის გამო, რომ როდესაც იგი გადადის ფურცელზე, დაპროექტებული ფიგურის ფორმა და ზომა დამახინჯებულია H და W. თვითმფრინავები.
ამიტომ სივრცითი განლაგების ნახაზში გამოსახულების ნაცვლად გამოიყენება მონჯის დიაგრამა.

მონჯის დიაგრამა მიიღება სივრცითი განლაგების გარდაქმნით H და W სიბრტყეების გაერთიანებით შუბლის პროექციის სიბრტყე V-სთან:
- H სიბრტყის V-სთან გასასწორებლად, მოატრიალეთ იგი x ღერძის გარშემო 90 გრადუსით საათის ისრის მიმართულებით. ფიგურაში, სიცხადისთვის, თვითმფრინავი ჰბრუნავს 90 გრადუსზე ოდნავ ნაკლები კუთხით, ხოლო ღერძი წ, რომელიც ეკუთვნის ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეს, ბრუნვის შემდეგ ემთხვევა ღერძს ზ;
- ჰორიზონტალური სიბრტყის გასწორების შემდეგ, ატრიალეთ ღერძის გარშემო ზასევე 90 გრადუსიანი კუთხით პროფილის სიბრტყეზე საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო მიმართულებით. ამავე დროს, ღერძი წ, რომელიც ეკუთვნის პროექციის პროფილის სიბრტყეს, ბრუნვის შემდეგ ემთხვევა ღერძს x.

ტრანსფორმაციის შემდეგ, სივრცითი განლაგება მიიღებს სურათზე ნაჩვენები ფორმას. ეს ფიგურა ასევე აჩვენებს საპროექციო სიბრტყეების იატაკის ფარდობითი პოზიციის თანმიმდევრობას, ასე რომ ჩანაწერი ვმიუთითებს, რომ მონჯის ნაკვეთის ამ ნაწილში (შეზღუდულია ღერძების დადებითი მიმართულებით xდა ზ) ჩვენთან უფრო ახლოს არის შუბლის პროექციის სიბრტყის ზედა მარცხენა სართული ვ, მის უკან არის ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის უკანა მარცხენა იატაკი ჰ, რასაც მოჰყვება პროფილის სიბრტყის ზედა უკანა სართული ვ.

იმის გამო, რომ თვითმფრინავებს არ აქვთ საზღვრები, მაშინ კომბინირებულ მდგომარეობაში (დიაგრამაზე) ეს საზღვრები არ არის ნაჩვენები, არ არის საჭირო წარწერების დატოვება, რომლებიც მიუთითებს საპროექციო თვითმფრინავების იატაკის პოზიციაზე. ასევე ზედმეტია შეხსენება, სად არის კოორდინატთა ღერძების უარყოფითი მიმართულება. შემდეგ, საბოლოო სახით, მონჯის დიაგრამა, რომელიც ანაცვლებს სივრცითი განლაგების ნახატს, მიიღებს ფიგურაში ნაჩვენები ფორმას.

Monge ნაკვეთი შეიძლება გაკეთდეს:

- ჩვეულებრივი სახატავი ხელსაწყოები და მოწყობილობები:
ხატვის ხელსაწყოები;
სახატავი აქსესუარები და მოწყობილობები;
- მონჯის დიაგრამის აგების (დახაზვის) პროგრამები: ნახატის გაკეთება გრაფიკულ რედაქტორში.

როგორც მონჯის დიაგრამის დიზაინის მაგალითი, გთავაზობთ გამოსავალს ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ABC აგების პრობლემის შესახებ:

— პრობლემის მდგომარეობით ცნობილი გამოსახულია შავით;
- მწვანე ფერში გამოსახულია ყველა ის კონსტრუქცია, რომელიც პრობლემის გადაჭრას იწვევს;
- მოძიებული ამოცანები ნაჩვენებია წითლად.
ამოცანის პირობის მიხედვით მოცემულია სამკუთხედის ABC(A`B`C`, A»B»...“) პროექციები. პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა გამოტოვებული პროექციის C პოვნა.