In technischen Zeichnungen wird die Methode der rechteckigen Projektionen verwendet. Daher werden wir das weitere Studium des Kurses mit der Methode der orthogonalen Projektion durchführen.

Um die beiden Hauptaufgaben des Studiengangs Darstellende Geometrie eindeutig zu lösen, müssen die Zeichnungen folgende Anforderungen erfüllen:

1. Einfachheit und Sichtbarkeit;

2. Umkehrbarkeit der Zeichnung.

Die betrachteten Projektionsmethoden unter Verwendung von Ein-Bild-Zeichnungen ermöglichen die Lösung eines direkten Problems (dh die Konstruktion seiner Projektion aus einem gegebenen Original). Das umgekehrte Problem (d. h. das Original durch Projektion wiederzugeben) kann jedoch nicht eindeutig gelöst werden. Dieses Problem lässt unendlich viele Lösungen zu, weil jeden Punkt Ein 1 Projektionsebenen P1 kann als Projektion eines beliebigen Punktes des projizierenden Strahls betrachtet werden l A durchgehen Ein 1. Somit haben die betrachteten Einzelbildzeichnungen die Eigenschaft nicht Umkehrbarkeit.

Um reversible Einzelbildzeichnungen zu erhalten, werden diese mit den notwendigen Daten ergänzt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies hinzuzufügen. Zum Beispiel, Zeichnungen mit Zahlen.

Die Methode liegt darin, dass zusammen mit der Projektion des Punktes Ein 1 Punkthöhe eingestellt ist, d.h. seinen Abstand von der Projektionsebene. Stellen Sie auch den Maßstab ein. Diese Methode wird in der Konstruktion, Architektur, Geodäsie usw. verwendet. Sie ist jedoch nicht universell zum Erstellen von Zeichnungen komplexer räumlicher Formen.

1798 fasste der französische Geometer-Ingenieur Gaspard Monge die bis dahin gesammelten theoretischen Kenntnisse und Erfahrungen zusammen und gab zum ersten Mal eine wissenschaftliche Begründung für die allgemeine Methode der Bildkonstruktion, indem er vorschlug, eine flache Zeichnung, bestehend aus zwei Projektionen, als zu betrachten ein Ergebnis der Kombination zweier zueinander senkrechter Projektionsebenen. Daraus stammt das Prinzip der Konstruktion von Zeichnungen, das wir bis heute anwenden.

Stellen wir uns die Aufgabe, Projektionen des Segments zu konstruieren in zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen P1 und P2.

1. Räumliches Modell.

P1 ^ P2 . AA 1 ^ P 1 ; |AA 1 | - Entfernung von A nach P 1 .

AA 2^ P2;|AA 2| - Entfernung von UND Vor P2 .

P1- horizontale Projektionsebene;

P2- frontale Projektionsebene.

A 1 B 1- horizontale Projektion des Segments;

A 2 B 2- Frontalprojektion des Segments.

x 12- Schnittlinie der Projektionsebenen.

In dieser Form ist die Zeichnung jedoch unbequem zu lesen. Daher schlug Gaspard Monge vor, diese Projektionsebenen zu kombinieren, außerdem wird P als die Ebene der Zeichnung genommen und P wird gedreht, um damit zusammenzufallen P2. Eine solche Zeichnung wird als komplexe Zeichnung bezeichnet.

2. Flaches Modell.

Betrachten Sie die Kombination von Projektionsebenen mit all ihren Inhalten in einer flachen Zeichnung. Die Menge der Projektionen einer Menge von Punkten im Raum auf P1 wird das horizontale Projektionsfeld genannt, und so weiter P2- frontales Projektionsfeld.

x 12- Projektionsachse, Bezugsbasis.

A 1 A 2 , B 1 B 2 Þ eine Verbindungslinie ist eine gerade Linie, die zwei Projektionen eines Punktes auf einer komplexen Zeichnung verbindet. Die Verbindungslinie steht senkrecht auf der Projektionsachse.

Komplexe Zeichnungseigenschaften von Monge mit zwei Bildern:

1. Zwei Projektionen eines Punktes liegen immer auf derselben Verbindungslinie der ermittelten Richtung.

2. Alle Kommunikationsleitungen einer festgelegten Richtung verlaufen parallel zueinander.

3. Achseloses Ziehen.

Wenn die kombinierten Flugzeuge P1 und P2 bewegen sich in beliebigen Abständen parallel zu sich selbst (siehe Lage der Achsen x 12, x 12 1, x 12 11 in Abb. 1-17), dann ändern sich die Abstände der Figur zu den Projektionsebenen.

Die Projektionen der Figur selbst (in diesem Fall das Segment AB) ändern sich nicht, wenn die Projektionsebenen parallel verschoben werden (gemäß Eigenschaft 7 der Parallelprojektion).

Von Abb. 1-17 ist sichtbar. das für jede Position der Achse X, Mengen DZ- die Differenz der Entfernungen von den Enden des Segments bis P1, und Dy- die Differenz der Entfernungen von den Enden des Segments bis P2, bleiben unverändert. Daher ist es nicht erforderlich, die Position der Achse anzugeben x 12 auf der komplexen Zeichnung und geben damit die Lage der Projektionsebenen vor P1 und P2 im Weltraum.

Dieser Umstand tritt in den im Ingenieurwesen verwendeten Zeichnungen auf, und eine solche Zeichnung wird genannt achslos.

Lassen Sie uns das Obige an einem konkreten Beispiel veranschaulichen.

Eine Aufgabe: Fertigen Sie eine Zeichnung für die Herstellung des Tisches an (Abb. 1-18).

1. Konstruieren Sie drei Projektionen der Tabelle unter Berücksichtigung der Eigenschaften des Monge-Diagramms.

2. Was fehlt gemäß der Zeichnung dieses Produkts?

3. Ja, natürlich, Größen.

Wenn nun drei Bilder des Produkts und seine Abmessungen vorliegen, spielen die Abstände des Produkts zu den Projektionsebenen eine Rolle für die Herstellung des Produkts, d. h. die Bindung an die Achsen x, j und z(Maße 1500, 2000, 2000 auf der Zeichnung).

Nein, tun sie nicht!

Gemäß dieser Zeichnung wird das Produkt erstellt und in welchem ​​​​Abstand sollte es von den Wänden installiert werden ( P2, P3) ist ein weiteres Problem.

Das achsenfreie Zeichnen ermöglicht, ohne an Achsen gebunden zu sein, Bilder an einer für den Ausführenden bequemen Position zu platzieren, jedoch unter Beachtung der Projektionsbeziehung, d.h. die Konstruktion der Zeichnung erfolgt nach den von Gaspard Monge aufgestellten Gesetzen

EINLEITUNG

Die beschreibende Geometrie untersucht Methoden zur Konstruktion flacher Bilder von räumlichen geometrischen Objekten, ihre geometrischen Eigenschaften und Methoden zur Lösung räumlicher geometrischer Probleme auf diesen Bildern, was für zukünftige Spezialisten bei der Verwendung von Zeichnungen in ihren Produktionsaktivitäten erforderlich ist.

Methodische Anleitungen richten sich an Studierende zur Selbstvorbereitung für den Laborunterricht in Darstellender Geometrie.

Die im Handbuch behandelten Aufgaben sind nach Themen gruppiert und dienen den Schülern zur Selbstvorbereitung für die nächste Unterrichtsstunde. Dazu müssen sie:

Lösen Aufgaben vorheriges Thema;

Studieren Sie theoretisches Material zu einem bestimmten Thema und beantworten Sie Fragen zur Selbstkontrolle;

Laufen Übungen zu einem bestimmten Thema;

Teil Aufgaben zum Thema werden im Laborunterricht mit Hilfe eines Lehrers gelöst, und einige werden für die Lösung zu Hause gegeben.

Zu Beginn des Unterrichts überprüft der Lehrer die von den Schülern selbstständig gelösten Aufgaben des vorherigen Themas, die theoretische Vorbereitung der Schüler und die Lösung von Aufgaben zu einem vorgegebenen Thema. Am Ende jedes Themas Beispiel für die Lösung eines typischen Problems mit Schritt-für-Schritt-Zeichnungen. Zu Beginn der Lösung der Aufgaben eines neuen Themas ist es sinnvoll, sich mit dem entsprechenden Beispiel vertraut zu machen und sich bei der Gestaltung der Zeichnung daran zu halten. Am Ende jedes Themas sind zusätzliche Aufgaben. Die richtige Lösung von Zusatzaufgaben durch die Studierenden gibt ihnen die Möglichkeit, an der Olympiade der Darstellenden Geometrie teilzunehmen, die am Ende des Semesters stattfindet, um starke Studierende im Studiengang zu identifizieren. Der Anhang des Handbuchs enthält Tests zu Themen zur Selbstkontrolle des Wissens, des studierten Materials.

Bei der Arbeit mit dem Handbuch lernen die Schüler praktische Techniken zur Problemlösung kennen, die es ihnen ermöglichen, die Fähigkeiten und Fertigkeiten zu entwickeln, um diese selbstständig zu lösen. Wenn sich diese Erfahrung ansammelt, beginnt der Student, auf professioneller Ebene unabhängig zu denken.

METHODISCHE ANWEISUNGEN ZUR LÖSUNG UND

FORMAUFGABEN

Bei der Lösung von Problemen sollten Sie sich an den folgenden Empfehlungen orientieren:

1. Stellen Sie sich gemäß den Projektionen geometrischer Figuren, die die Ausgangsdaten des Problems bilden, ihre Form und relative Position im Raum sowohl in Bezug zueinander als auch in Bezug auf die Projektionsebenen vor.

2. Entwerfen Sie einen "räumlichen" Plan zur Lösung des Problems und legen Sie die Reihenfolge der Durchführung geometrischer Operationen fest, mit deren Hilfe eine Antwort auf das Problem erhalten werden kann. In diesem Stadium der Problemlösung sollte man sich auf die Sätze aus dem Kurs der elementaren Geometrieabschnitte "Planimetrie" und "Stereometrie" sowie auf theoretisches Material in Lehrbüchern und Vorlesungen beziehen.

3. Bestimmen Sie den Algorithmus zur Lösung des Problems, schreiben Sie kurz die Abfolge der grafischen Konstruktionen unter Verwendung der akzeptierten Notation und Terminologie auf.

4. Fahren Sie mit geometrischen Konstruktionen unter Verwendung der unveränderlichen Eigenschaften der Parallelprojektion fort. Bei der Durchführung der ersten beiden Punkte ist es auch nützlich, die mögliche Anzahl von Lösungen festzulegen und die Gründe zu identifizieren, von denen sie abhängen.

5. Es sollte beachtet werden, dass es bei der Durchführung geometrischer Konstruktionen in jeder Phase der Lösung eines Problems möglich ist, die Korrektheit ihrer Implementierung zu kontrollieren. Dies ist besonders wertvoll, da die Problembücher zur Darstellenden Geometrie keine Antworten enthalten. Die Steuerung basiert auf den invarianten Eigenschaften der Parallelprojektion und Theoremen aus dem Schulkurs Stereometrie.

Bei der grafischen Lösung eines Problems hängt die Genauigkeit der Antwort nicht nur von der Wahl des richtigen Lösungswegs ab, sondern auch von der Genauigkeit der geometrischen Konstruktionen. Daher müssen bei der Lösung des Problems Zeichenwerkzeuge verwendet werden. Aufgaben sollten in einem separaten Notebook in einem Käfig für Laborübungen gelöst werden. Die Art und Dicke der Linien werden gemäß GOST 2.303-68 ESKD ausgeführt. Konstruktionen werden mit Bleistift erstellt. Um die beim Lösen erhaltene Zeichnung besser lesbar zu machen, empfiehlt es sich, Buntstifte zu verwenden: Die vorgegebenen Elemente sind schwarz umrandet, Hilfskonstruktionen blau, die gewünschten Elemente rot. Dasselbe Ziel wird mit der verbindlichen Bezeichnung aller Punkte und Linien verfolgt. In diesem Fall sollte die Bezeichnung im Zuge der Lösung des Problems unmittelbar nach dem Zeichnen der Linie oder dem Bestimmen des Schnittpunkts der Linien erfolgen. Beschriftungen und Buchstabenbezeichnungen sollten in Standardschrift gemäß GOST 2.304-84 ESKD erfolgen.

Ein Notizbuch mit gelösten Aufgaben wird dem Lehrer bei der Prüfung vorgelegt.

AKZEPTIERTE BEZEICHNUNGEN

A B C D,…oder 1, 2, 3, 4, ... - Punktbezeichnung; Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder arabische Ziffern.

o - Bild eines Punktes (Punktortsbereich); einen Kreis mit einem Durchmesser von 2-3 mm mit einer dünnen Linie von Hand.

A B C D,... - eine Linie im Raum; Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets.

Γ, Σ, Δ,… - Ebenen, Oberflächen; Großbuchstaben des griechischen Alphabets.

α, β, γ, δ, ... - Ecken; Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets.

P - Projektionsebene (Bildebene); Großbuchstabe (pi) des griechischen Alphabets.

AB- eine Linie, die durch die Punkte verläuft UND und BEI .

[AB]- durch Punkte begrenztes Segment UND und BEI .

[AB ) ist ein durch einen Punkt begrenzter Strahl UND und den Punkt passieren BEI.

/AB /–natürliche Größe des Segments[ AB] (entspricht dem Original).

/Aa /–Entfernung vom Punkt UND zur Linie a.

/AΣ /–Entfernung vom Punkt UND bis zum Flugzeug Σ .

/ab /– Abstand zwischen den Zeilen a und b.

/GD / - Abstand zwischen den Flächen G und D.

≡- Koinzidenz (A≡B - Punkte A und B fallen zusammen).

║ - parallel.

^ - senkrecht.

∩ - Schnittpunkt.

О - gehört zu, ist ein Element der Menge.

^ - Winkel, zum Beispiel a^b - Winkel zwischen den Geraden a und b.

Ð α - Winkel α (oder eine Zahl in Grad).

RABC - Winkel mit Scheitelpunkt bei Punkt B.

Die Bebilderung von Schildern muss nach anerkannten Standards für die Gestaltung technischer und wissenschaftlicher Dokumentationen erfolgen.

THEMA 1 INTEGRIERTE ZEICHNUNG VON MONGE

(Punkt, Linie )

Fragen der Selbstkontrolle

1. Eigenschaften der orthogonalen Projektion.

2. Welche Elemente sind im Projektionsapparat enthalten?

3. Was wird Projektionsachse genannt?

4. Was nennt man die Projektion eines Punktes?

5. Welche geraden Linien werden "Verbindungslinien" genannt und wie liegen sie relativ zur Projektionsachse?

6. Kann man die Position eines Punktes im Raum durch seine Projektionen wiederherstellen?

7. Wie kann man einer komplexen Zeichnung eine gerade Linie setzen?

8. Welche Linien werden Linien allgemeiner und partieller Position genannt? Erstellen Sie eine komplexe Zeichnung.

9. Wie sind zwei Linien im Raum relativ zueinander angeordnet?

10. Was heißt Spur einer Geraden?

3.1 Komplexe Punktzeichnung

Übungen

3.1.5. Welcher der in der Zeichnung angegebenen Punkte A, B oder C gehört zur Ebene P 1?

3.1.6 Erstellen Sie auf einer visuellen Zeichnung (Abbildung 3.1) Projektionen A 2, B 1, C 1 und D 2 der Punkte A, B, C und D. Bestimmen Sie, in welchen Vierteln diese Punkte liegen?

Abbildung 3.1

Aufgaben

3.2 Komplexes Zeichnen gerade

Übungen

Aufgaben

3.2.6 Bauen Sie auf der komplexen Zeichnung zwei Segmente auf, jeweils sich schneidende, parallele, sich schneidende und konkurrierende gerade Linien.

3.2.7 Durch den Punkt A(25, 30, 10) eine Strecke AB ziehen, parallel zur Projektionsebene P 2 30 mm lang in einem Winkel von 45° zu P 1. Notieren Sie die Koordinaten von Punkt B. Wie viele Lösungen hat das Problem?

3.2.8 Finden Sie die tatsächliche Größe des Segments AB und die Winkel seiner Neigung zu den Ebenen P 1, P 2. Die Koordinaten der Punkte des Segments A (60, 5, 10), B (10, 20,40).

Beispiele für Problemlösungen:

Aufgabe 1 Welcher der gegebenen Punkte A, B, C gehört zur Ebene P 1 ?

Entscheidung. Wenn der Punkt in der Ebene П 1 liegt, dann ist seine Höhe gleich Null. Daher müssen Sie unter den angegebenen Punkten nach einem Punkt mit einer Höhe gleich Null suchen. Die Höhe eines Punktes wird durch den Abstand entweder von der Frontalprojektion des Punktes zur Achse gemessen X1 2, oder von der Profilprojektion zur Achse 3. Und wenn die Höhe des Punktes Null ist, dann liegen diese Projektionen des Punktes auf den Achsen X 12 und Y 3 . Diese Bedingung wird durch den Punkt erfüllt UND, die eine Projektion hat A 2 liegt auf der Achse X12, und die Projektion Ein 3- auf der Achse 3. Der Punkt A liegt also in der horizontalen Ebene der Projektionen П 1 .

Punkt VON liegt ebenfalls in der Projektionsebene. Dies wird durch die Position seiner Projektionen belegt. Ab 1 und Ab 3 jeweils auf den Achsen X12 und Z23. Dies bedeutet, dass der Punkt VON Null Tiefe. Daher liegt es in der Frontalebene der Projektionen П 2 .

Punkt B liegt in keiner der Projektionsebenen. Es befindet sich im Raum.

Ähnliche Informationen.

1. Orthogonale Projektionsmethode

2. Punkt

4. Fragen und Aufgaben

Orthographisches Projektionsverfahren

Wird die Angabe über den Abstand eines Punktes zur Projektionsebene nicht über eine numerische Markierung, sondern über die zweite Projektion des auf der zweiten Projektionsebene aufgebauten Punktes gemacht, so wird die Zeichnung aufgerufen Zwei-Bild oder umfassend . Die Grundprinzipien für die Erstellung solcher Zeichnungen werden dargelegt Gaspard Monge - ein bedeutender französischer Geometer des späten 18. und frühen 19. Jahrhunderts, 1789-1818. einer der Gründer der berühmten Polytechnischen Schule in Paris und Teilnehmer an den Arbeiten zur Einführung des metrischen Maß- und Gewichtssystems.

Monges Methode der orthogonalen Projektion auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen war und ist die Hauptmethode zur Erstellung technischer Zeichnungen.

Gemäß der von G. Monge vorgeschlagenen Methode betrachten wir zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen im Raum.

Eine der Projektionsebenen P 1 horizontal platziert, und die zweite P 2 - vertikal. P 1 - horizontale Projektionsebene, P 2 - frontal. Die Ebenen sind unendlich und undurchsichtig.

Projektionsebenen teilen den Raum in vier Flächenwinkel – Viertel. Bei orthogonalen Projektionen wird angenommen, dass sich der Beobachter im ersten Viertel in unendlich großem Abstand von den Projektionsebenen befindet (Abb. 89).

Die Schnittlinie der Projektionsebenen wird als Koordinatenachse bezeichnet und bezeichnet x 21 .

Da diese Ebenen undurchsichtig sind, sind für den Betrachter nur diejenigen geometrischen Objekte sichtbar, die sich innerhalb desselben ersten Viertels befinden.

Um eine flache Zeichnung zu erhalten, die aus den angegebenen Projektionen besteht, der Ebene P 1 durch Drehung um eine Achse ausgerichtet x 12 mit Flugzeug P 2 . Eine Projektionszeichnung, bei der die Projektionsflächen mit allem, was darauf abgebildet ist, auf bestimmte Weise miteinander kombiniert werden, nennt man Monge-Diagramm oder komplexe Zeichnung.

Geometrische Objekte werden unterteilt in: linear (Punkt, Linie, Ebene), nichtlinear (Kurvenlinie, Fläche) und zusammengesetzt (Polyeder, eindimensionale und zweidimensionale Konturen).

Punkt

Ein geometrisches Objekt beliebiger Komplexität kann als Ort von Punkten betrachtet werden, durch deren gegenseitige Anordnung eine Vorstellung über das Objekt entstehen kann, und durch ihre Lage relativ zum Koordinatensystem kann man seine Position im Raum beurteilen.

Punkt ist eines der Grundkonzepte der Geometrie. In einer systematischen Darstellung der Geometrie wird ein Punkt normalerweise als einer der Anfangsbegriffe genommen.

Punkt in einem orthogonalen System aus zwei Projektionsebenen

Bei der Konstruktion einer Projektion muss beachtet werden, dass die orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene die Basis der von einem gegebenen Punkt auf diese Ebene fallenden Senkrechten ist. Für Punkt UND seine orthogonalen Projektionen EIN 1 und UND 2 , die als horizontale bzw. frontale Projektionen bezeichnet werden.

Punktprojektionen liegen immer auf einer Geraden senkrecht zur Achse X 12 und diese Achse an dem Punkt schneidet UND X . Das Umgekehrte gilt auch, d. h. wenn Punkte auf den Projektionsebenen gegeben sind UND 1 und UND 2 befindet sich auf einer geraden Linie, die die Achse schneidet X 12 am Punkt UND X im rechten Winkel, dann sind sie die Projektion eines Punktes UND.

Auf dem Grundstück der Monge-Projektion EIN 1 und UND 2 auf derselben senkrecht zur Achse gelegen X 12 Gleichzeitig die Distanz UND 1 UND X - von der horizontalen Projektion des Punktes auf die Achse ist gleich dem Abstand vom Punkt selbst UND bis zum Flugzeug P 2 , und die Entfernung UND 2 UND X - von der Frontalprojektion des Punktes zur Achse ist gleich dem Abstand vom Punkt selbst UND bis zum Flugzeug P 1 (Abb. 90).

Gerade Linien, die gegenüberliegende Projektionen eines Punktes in einem Diagramm verbinden, werden aufgerufen Projektionskommunikationsleitungen .

Punkt in einem orthogonalen System aus drei Projektionsebenen

In der Praxis der Darstellung verschiedener geometrischer Objekte wird es erforderlich, eine dritte Profilprojektionsebene zu verwenden, um die Zeichnung klarer zu machen P 3 , senkrecht dazu angeordnet P 1 und P 2 . Projektionsebenen P 1 , P 2 und P 3 sind die Hauptprojektionsebenen (Abb. 91).

Die dritte Ebene, senkrecht und P 1 , und P 2 , gekennzeichnet durch den Buchstaben P 3 und heißt Profil.

Die Projektionen von Punkten auf dieser Ebene werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder Zahlen mit dem Index 3 angezeigt.

Projektionsebenen, die sich paarweise schneiden, definieren drei Achsen Oh , OU und Oz, die als ein System kartesischer Koordinaten im Raum mit Ursprung im Punkt betrachtet werden kann 0.

Um ein Diagramm eines Punktes in einem System von drei Projektionsebenen der Ebene zu erhalten P 1 und P 3 drehen, bis sie mit der Ebene ausgerichtet sind P 2 . Bei der Bezeichnung von Achsen in einem Diagramm werden negative Halbachsen normalerweise nicht angezeigt. Wenn nur das Bild des Objekts selbst von Bedeutung ist und nicht seine Position relativ zu den Projektionsebenen, werden die Achsen im Diagramm nicht angezeigt (Abb. 92).

Im dreidimensionalen Raum wird die Position eines Punktes durch rechtwinklige kartesische Koordinaten festgelegt x, y und z (Abszisse, Ordinate und Applikate).

Formulieren wir die wesentlichen Eigenschaften orthogonaler Projektionen am Beispiel eines Punktes:

1. Zwei Projektionen eines Punktes bestimmen seine Position im Raum.

2. Zwei Projektionen eines Punktes liegen auf derselben Kommunikationslinie.

3. Basierend auf zwei Projektionen eines Punktes kann eine dritte konstruiert werden.

Gerade Linie

Gerade Linie ist eines der Grundkonzepte der Geometrie. In einer systematischen Darstellung der Geometrie wird meist eine Gerade als einer der Ausgangsbegriffe genommen, die nur indirekt durch die Axiome der Geometrie bestimmt ist. Wenn die Grundlage für die Konstruktion der Geometrie das Konzept der Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum ist, dann kann eine gerade Linie als eine Linie definiert werden, entlang der die Entfernung zwischen zwei Punkten am kürzesten ist.

Eine Gerade ist eine algebraische Gerade erster Ordnung: In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Gerade in einer Ebene durch eine Gleichung 1. Grades (Geradengleichung) gegeben.

Allgemeine Geradengleichung (vollständig): Axt + Wu + C \u003d 0,

wo A, B und VON - beliebige Konstanten und UND und BEI nicht gleichzeitig Null sind. Wenn einer der Koeffizienten gleich Null ist, wird die Gleichung als unvollständig bezeichnet.

Möglichkeiten, eine gerade Linie grafisch zu definieren

1.Zwei Punkte (UND und BEI).

2. Zwei Ebenen (a; b).

3. Zwei Projektionen.

4. Punkt und Neigungswinkel zu den Projektionsebenen.

Die Position einer geraden Linie relativ zu den Projektionsebenen

In direkter Beziehung zu den Projektionsebenen kann es sowohl allgemeine als auch besondere Positionen einnehmen.

1. Eine gerade Linie, die zu keiner Projektionsebene parallel ist, heißt direkte allgemeine Position .

2. Gerade Linien parallel zu den Projektionsebenen nehmen eine bestimmte Position im Raum ein und werden aufgerufen Direkte eben . Je nachdem, zu welcher Projektionsebene die gegebene Gerade parallel ist, gibt es:

2.1. Direkte Projektionen parallel zur Frontalebene werden genannt frontal oder Stirnseiten- n.

2.2. Gerade Linien parallel zur horizontalen Projektionsebene werden genannt horizontal oder horizontale Linien - m.

2.3. Als direkte Projektionen parallel zur Profilebene werden bezeichnet Profil - R.

3. Gerade Linien senkrecht zu den Projektionsebenen nehmen eine bestimmte Position im Raum ein und werden aufgerufen projizieren . Eine Linie senkrecht zu einer Projektionsebene ist parallel zu den anderen beiden. Je nachdem, auf welcher Projektionsebene die untersuchte Linie senkrecht steht, ergeben sich:

3.1. Horizontal vorspringende Linie - m.

3.2. Frontal hervorstehende gerade Linie - n.

3.3. Profil projizierende gerade Linie - p (Abb. 93).

KURZER LEHRVERLAUF

Studienrichtung "Technische Grafik" 1 Semester

für Teilzeitstudierende

Voll- und Kurzprogramme

Wolgodonsk 2013

1. METHODEN DER PROJEKTION. INTEGRIERTE ZEICHNUNG... 3

2. DIREKTE PROJEKTIONEN.. 7

3. FLUGZEUGPROJEKTIONEN.. 16

4. KONVERTIERUNG DER ZEICHNUNG.. 29

5. OBERFLÄCHEN.. 33

6. OFFENLEGENDE OBERFLÄCHEN.. 50

1. Methoden der PROJEKTION. INTEGRIERTE ZEICHNUNG

Einführung. Zweck und Ziele des Kurses

Im mathematischen Lexikon wird folgende Definition gegeben: „Die darstellende Geometrie ist ein Zweig der Geometrie, in dem räumliche Figuren sowie Methoden zur Lösung und Untersuchung räumlicher Probleme anhand ihrer Bilder in einer Ebene untersucht werden.“

Methoden der Darstellenden Geometrie bilden die theoretische Grundlage zur Lösung von Problemen des Technischen Zeichnens. In der Technik sind Zeichnungen das wichtigste Mittel, um menschliche Ideen auszudrücken. Sie sollen nicht nur Form und Größe von Objekten bestimmen, sondern auch recht einfach und akkurat in der grafischen Gestaltung sein, dabei helfen, Objekte und ihre individuellen Details umfassend zu erkunden. Um Ihre Gedanken mit Hilfe einer Zeichnung, Skizze, Zeichnung richtig auszudrücken, sind Kenntnisse der theoretischen Grundlagen zur Konstruktion von Bildern geometrischer Objekte, ihrer Vielfalt und der Beziehung zwischen ihnen erforderlich, die Gegenstand der darstellenden Geometrie sind.

Methoden der rechteckigen Projektion auf zwei und drei

Zueinander senkrechte Projektionsebenen.

Punktprojektionen, komplexe Zeichnung.

Monge-Methode, komplexe Zeichnung.

Wird die Angabe des Abstandes eines Punktes zur Projektionsebene nicht über eine numerische Markierung, sondern über die zweite Projektion des auf der zweiten Projektionsebene aufgebauten Punktes gemacht, so wird die Zeichnung aufgerufen Zwei-Bild oder umfassend. Die Grundprinzipien für die Erstellung solcher Zeichnungen werden dargelegt Gaspard Monge - ein bedeutender französischer Geometer des späten 18. und frühen 19. Jahrhunderts, 1789-1818. einer der Gründer der berühmten Polytechnischen Schule in Paris und Teilnehmer an den Arbeiten zur Einführung des metrischen Maß- und Gewichtssystems.

Die nach und nach angehäuften separaten Regeln und Techniken solcher Bilder wurden in das System eingebracht und in der Arbeit von G. Monge "Geometrie descriptive" entwickelt.

Monges Methode der orthogonalen Projektion auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen war und ist die Hauptmethode zur Erstellung technischer Zeichnungen.

Nach der von G. Monge vorgeschlagenen Methode betrachten wir zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen im Raum (Abb. 6). Eine der Projektionsebenen P 1 horizontal platziert, und die zweite P 2 - vertikal. P 1 - horizontale Projektionsebene, P 2 - frontal. Die Ebenen sind unendlich und undurchsichtig.

Projektionsebenen teilen den Raum in vier Flächenwinkel – Viertel. Bei orthogonalen Projektionen wird angenommen, dass sich der Beobachter im ersten Viertel in unendlich großem Abstand von den Projektionsebenen befindet.

Ein Monge-Diagramm oder eine komplexe Zeichnung ist eine Zeichnung, die aus zwei oder mehr miteinander verbundenen orthogonalen Projektionen einer geometrischen Figur besteht.

Die Verwendung eines räumlichen Layouts zur Anzeige orthogonaler Projektionen geometrischer Figuren ist aufgrund seiner Sperrigkeit unpraktisch und auch aufgrund der Tatsache, dass bei der Übertragung auf ein Blatt Papier die Form und Größe der projizierten Figur in H und W verzerrt ist Flugzeuge.
Daher wird anstelle des Bildes in der Zeichnung des räumlichen Layouts das Monge-Diagramm verwendet.

Das Monge-Diagramm erhält man durch Transformation des räumlichen Layouts durch Kombinieren der H- und W-Ebenen mit der frontalen Projektionsebene V:
- Um die H-Ebene mit V auszurichten, drehen Sie sie im Uhrzeigersinn um 90 Grad um die x-Achse. In der Figur zur Verdeutlichung das Flugzeug H in einem Winkel von etwas weniger als 90 Grad gedreht, während die Achse j, die zur horizontalen Projektionsebene gehört, fällt nach der Drehung mit der Achse zusammen z;
- Drehen Sie nach dem Ausrichten der horizontalen Ebene um die Achse z ebenfalls im Winkel von 90 Grad zur Profilebene entgegen der Richtung im Uhrzeigersinn. Gleichzeitig die Achse j, die zur Profilebene der Projektion gehört, fällt nach der Drehung mit der Achse zusammen x.

Nach der Transformation nimmt das räumliche Layout die in der Abbildung gezeigte Form an. Diese Figur zeigt auch die Reihenfolge der relativen Lage des Bodens der Projektionsebenen, also der Aufzeichnung v zeigt an, dass in diesem Teil des Monge-Diagramms (begrenzt durch die positive Richtung der Achsen x und z) näher bei uns ist die obere linke Etage der Frontalprojektionsebene v, dahinter befindet sich der hintere linke Boden der horizontalen Projektionsebene H, gefolgt von der oberen hinteren Etage der Profilebene W.

Da die Ebenen keine Grenzen haben, werden diese Grenzen in der kombinierten Position (im Diagramm) nicht angezeigt, und es ist nicht erforderlich, Beschriftungen zu hinterlassen, die die Position des Bodens der Projektionsebenen angeben. Es ist auch überflüssig, daran zu erinnern, wo die negative Richtung der Koordinatenachsen ist. Dann nimmt das Monge-Diagramm, das die räumliche Anordnungszeichnung ersetzt, in seiner endgültigen Form die in der Abbildung gezeigte Form an.

Der Monge-Plot kann erstellt werden mit:

- herkömmliche Ziehwerkzeuge und Vorrichtungen:
Zeichenwerkzeuge;
Zeichenzubehör und -geräte;
- Programme zum Erstellen (Zeichnen) des Monge-Diagramms: Erstellen einer Zeichnung in einem Grafikeditor.

Als Beispiel für den Aufbau des Monge-Diagramms bieten wir eine Lösung für das Problem der Konstruktion eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ABC:

— Das durch den Zustand bekannte Problem wird in Schwarz angezeigt;
- in grüner Farbe werden alle Konstruktionen angezeigt, die zur Lösung des Problems führen;
- die gesuchten Aufgaben werden rot angezeigt.
Je nach Problemstellung sind die Projektionen des Dreiecks ABC(A`B`C`, A»B»…“) gegeben. Um das Problem zu lösen, muss der fehlende Vorsprung C gefunden werden.