Задачи на сложение и вычитание дробей. Задачи на сложение и вычитание дробей Случай типа "деление на ноль"

29.01.2024

На этом уроке мы продолжим рассматривать простейшие операции с алгебраическими дробями - их сложение и вычитание. Сегодня мы сделаем основной акцент на рассмотрении примеров, в которых наиболее важной частью решения будет разложение знаменателя на множители всеми способами, которые нам известны: с вынесением общего множителя, методом группировки, выделением полного квадрата, с помощью формул сокращенного умножения. В ходе урока будет рассмотрено несколько достаточно сложных задач на дроби.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Задачи на сложение и вычитание дробей

На уроке рассмотрим и обобщим все случаи сложения и вычитания дробей: с одинаковыми и с разными знаменателями. В общем виде будем решать задачи вида:

Ранее мы уже видели, что при сложении или вычитании алгебраических дробей одной из важнейших операций является разложение знаменателей на множители. Аналогичная процедура проделывается и в случае обыкновенных дробей. Еще раз вспомним, каким образом необходимо работать с обыкновенными дробями.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Воспользуемся, как и ранее, основной теоремой арифметики о том, что любое число можно разложить на простые множители: .

Определим наименьшее общее кратное знаменателей: - это и будет общий знаменатель дробей, и, исходя из него, определим дополнительные множители для каждой из дробей: для первой дроби , для второй дроби , для третьей дроби .

Ответ. .

В указанном примере мы пользовались основной теоремой арифметики для разложения чисел на множители. Далее, когда в роли знаменателей будут выступать многочлены, их необходимо будет раскладывать на множители следующими известными нам методами: вынесение общего множителя, метод группировки, выделение полного квадрата, использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. Сложить и вычесть дроби .

Решение. Знаменатели всех трех дробей являются сложными выражениями, которые необходимо разложить на множители, затем найти для них наименьший общий знаменатель и указать дополнительные множители для каждой из дробей. Проделаем все эти действия отдельно, а затем подставим результаты в исходное выражение.

В первом знаменателе вынесем общий множитель: - после вынесения общего множителя можно заметить, что выражение в скобках сворачивается по формуле квадрата суммы.

Во втором знаменателе вынесем общий множитель: - после вынесения общего множителя применяем формулу разности квадратов.

В третьем знаменателе выносим общий множитель: .

После разложения на множители третьего знаменателя можно заметить, что во втором знаменателе можно выделить множитель для более удобного поиска наименьшего общего знаменателя дробей, сделаем мы это с помощью вынесения минуса за скобки , во второй скобке мы поменяли местами слагаемые для более удобной формы записи.

Определим наименьший общий знаменатель дробей как выражение, которое делится на все знаменатели одновременно, он будет равен: .

Укажем дополнительные множители: для первой дроби , для второй дроби - вынесенный в знаменателе минус не учитываем, т. к. запишем его ко всей дроби, для третьей дроби .

Теперь выполним действия с дробями, не забыв поменять знак перед второй дробью:

На последнем этапе решения мы привели подобные слагаемые и записали их в порядке убывания степеней при переменной .

Ответ. .

На приведенном примере мы еще раз, как и на прошлых уроках, продемонстрировали алгоритм сложения/вычитания дробей, который заключается в следующем: разложить на множители знаменатели дробей, найти наименьший общий знаменатель, дополнительные множители, выполнить процедуру сложения/вычитания и, по возможности, упростить выражение и произвести сокращение. Этим алгоритмом мы будем пользоваться и в дальнейшем. Рассмотрим теперь более простые примеры.

Пример 3. Вычесть дроби .

Решение. В данном примере важно увидеть возможность сократить первую дробь до приведения ее к общему знаменателю со второй дробью. Для этого числитель и знаменатель первой дроби разложим на множители.

Числитель: - в первом действии разложили часть выражения по формуле разности квадратов, а во втором - вынесли общий множитель .

Знаменатель: - в первом действии разложили часть выражения по формуле квадрата разности, а во втором - вынесли общий множитель . Подставим полученные числитель и знаменатель в исходное выражение и сократим первую дробь на общий множитель :

Ответ: .

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. В этом примере, как и предыдущем, важно заметить и осуществить сокращение дроби до выполнения действий. Разложим числитель и знаменатель на множители.

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Основные понятия

1. Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .

Определение. Рациональная дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.

Примеры рациональных выражений: - дробные выражения; - целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя - .

Значение алгебраической дроби , как и любого алгебраического выражения , зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .

2. Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дроби

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

Пример 1. Вычислить значение дроби при а) , б) , в)

Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а) , б) , в) - не существует (т. к. на ноль делить нельзя).

Ответ: 3; 1; не существует.

Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных - значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения .

3. Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменной

Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.

Пример 2. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:

Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.

Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных - знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.

Решение. .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение..

Встречаются и другие формулировки данной задачи - найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это означает - найти все допустимые значения переменных. В нашем примере - это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение..

Изобразим полученное решение на числовой оси:

4. Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых значений переменных в дробях

Пример 6. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение.. Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции .

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

5. Случай типа "деление на ноль"

В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение..

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . Однако, если подставить в исходное выражение, то получим - не имеет смысла.

Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

(дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю) . Но необходимо решить исходное уравнение с дробью, а она не имеет смысла при , т. к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Значит, данное уравнение имеет только один корень .

6. Правило нахождения ОДЗ

Таким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.

Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при указанных значениях переменных и нахождение области допустимых значений дроби .

Рассмотрим теперь еще несколько задач, которые могут возникнуть при работе с дробями.

7. Разные задачи и выводы

Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь .

Доказательство. Числитель - число положительное. . В итоге, и числитель, и знаменатель - положительные числа, следовательно, и дробь является положительным числом.

Доказано.

Пример 9. Известно, что , найти .

Решение. Поделим дробь почленно . Сокращать на мы имеем право, с учетом того, что является недопустимым значением переменной для данной дроби.

На данном уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби .

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей.

2. Старая школа.

3. Интернет-портал lib2.podelise. ru .

Домашнее задание

1. №4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.

2. Запишите рациональную дробь, областью определения которой является: а) множество , б) множество , в) вся числовая ось.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби неотрицательно.

4. Найдите область определения выражения . Указание: рассмотреть отдельно два случая: когда знаменатель нижней дроби равен нулю и когда знаменатель исходной дроби равен нулю.

№ п/п

Элементы содержания

Уметь решать проблемные задачи и ситуации

С-9

Степень с отрицательным целым показателем

Степень с натуральным показателем, степень с отрицательным показателем, умножение, деление и возведение в степень степени числа

Иметь представление о степени с натуральным показателем, о степени с отрицательным показателем, умножении, делении и возведении в степень степени числа

Уметь:

– упрощать выражения, используя определение степени с отрицательным показателем и свойства степени;

– составлять текст научного стиля

С-10

Контрольная работа №2 «Преобразование рациональных выражений»

Уметь самостоятельно выбрать рациональный способ преобразования рациональных выражений, доказывать тождества, решать рациональные уравнения способом освобождения от знаменателей, составляя математическую модель реальной ситуации

К.Р. №2

Вопросы к зачету

Сформулируйте основное свойство дроби.
Сформулируйте
1. Алгоритм отыскания дополнительного множителя к алгебраической дроби.
2. Правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.
3. Алгоритм отыскания общего знаменателя нескольких дробей
4. Правило сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями.
5. Правило умножения алгебраических дробей
6. Правило деления алгебраических дробей.
7. Правило возведения алгебраической дроби в степень.

Тема 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями. (18 часов)

Раздел математики. Сквозная линия.

Числа и вычисления
Выражения и преобразования

Алгебраическая дробь.
Сокращение дробей.
Действия с алгебраическими дробями.

Программа	^ Кол-во час	Контроль отметки
У-1. Комбинированный урок «Основные понятия»	1		Задания для устного счета. Упр.1 «Числовые выражения»
У-2. Урок-лекция "Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей "	1		Демонстрационный материал "Основное свойство алгебраической дроби"
У-3. Урок-закрепление изученного	1	Устный счет Самостоятельная работа 1.1 «Основное свойство дроби. Сокращение дробей»	Задания для устного счета. Упр.2 «Сокращение алгебраических дробей»
У-4. Комбинированный урок "Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями"	1
У-5. Урок- решение задач	1		CD Математика 5-11 Упражнения «Рациональные числа».
У-6. Комбинированный урок " Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями "	1		Демонстрационный материал " Сложение и вычитание алгебраических дробей"
У-7. Урок- решение задач	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.3 «Сложение и вычитание алгебраических дробей»
У-8. Урок- самостоятельная работа	1	Самостоятельная работа 1.2 «Сложение и вычитание алгебраических дробей»
У-9. Урок- решение задач	1
У-10. Урок- контрольная работа	1	Контрольная работа №1
У-11. Комбинированный урок "Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраических дробей в степень "	1
У-12. Урок- решение задач	2	Самостоятельная работа 1.3 «Умножение и деление дробей»
У-13. Комбинированный урок "Преобразование рациональных выражений "	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.4 «Умножение и деление алгебраических дробей»
У-14. Урок- решение задач	1
У-15. Урок- самостоятельная работа	1	Самостоятельная работа 1.4 «Преобразование рациональных выражений»
У-16. Урок-практикум «Первые представления о решении рациональных уравнений»	1		CD Математика 5-11 Виртуальная лаборатория «График функции».
У-17. Урок- решение задач	1	Тест 1 «Алгебраические дроби»
У-18. Урок- контрольная работа.	1	Контрольная работа №2

Уметь сокращать алгебраические дроби.

Уметь выполнять основные действия с алгебраическими дробями.
Уметь выполнять комбинированные упражнения на действия с алгебраическими дробями.

Тема 2. Квадратичная функция. Функция . (18 часов)

 Функция

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

Программа. Контроль за ее выполнением

Программа	Кол- во час	Контроль отметки	Компьютерное обеспечение урока


У-1. Комбинированный урок «Функция , ее свойства и график»	1
	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.5 «Функция » Демонстрационный материал «Парабола. Применение в науке и технике»
У-3. Урок-решение задач	1	Самостоятельная работа 2.1 «Функция у = kx 2 »
У-4. Урок-лекция "Функция и ее график "	1		Демонстрационный материал «Функция , ее свойства и график»
^ У-5. Урок-решение задач	3	Устный счет Самостоятельная работа 2.2 «Функция »	Задания для устного счета. Упр.6 «Обратная пропорциональность»
У-6,7. Уроки- практикумы «Как построить график функции »	2	Практическая работа
У-8,9. Уроки- практикумы «Как построить график функции , если известен график функции »	2		CD« Математика 5-11 кл.» Виртуальная лаборатория «Графики функций»
^ У-10. Урок- контрольная работа	1	Контрольная работа №3
У-11 Уроки- практикум «Как построить график функции , если известен график функции »	1		CD« Математика 5-11 кл.» Виртуальная лаборатория «Графики функций»
У-12 Урок- практикум «Как построить график функции , если известен график функции »	1	Самостоятельная работа 2.3 «Графики функций »	CD« Математика 5-11 кл.» Виртуальная лаборатория «Графики функций»
У-13. Комбинированный урок «Функция , ее свойства и график»	1		Демонстрационный материал «Свойства квадратичной функции»
У-14. Урок-закрепление изученного..	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.7 «Квадратичная функция»
У-15. Урок-решение задач	1	Устный счет Самостоятельная работа 2.4 «Свойства и график квадратичной функции»	Задания для устного счета. Упр.8 «Свойства квадратичной функции»
У-16. Урок- тест	1	Тест 2 «Квадратичная функция»
^ У-17. Урок-практикум «Графическое решение квадратных уравнений»	1		Демонстрационный материал «Графическое решение квадратных уравнений»
У-18. Урок- контрольная работа	1	Контрольная работа №4

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

Уровень возможной подготовки обучающегося

Тема 3 Функция . Свойства квадратного корня (11 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

Числа и вычисления
Выражения и преобразования
Функции

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

 Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень.

 Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа.

 Действительные числа.

 Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

 Функция .

Программа. Контроль за ее выполнением

Программа	Кол- во час	Контроль отметки	Компьютерное обеспечение урока
^ У-1. Урок-лекция «Понятие квадратного корня из неотрицательного числа»	1		Демонстрационный материал «Понятие квадратного корня»
У-2. Урок- решение задач	1	Самостоятельная работа 3.1 «Арифметический квадратный корень»
У-3. Комбинированный урок «Функция , ее свойства и график»	1		Демонстрационный материал «Функция , ее свойства и график»
^ У-4. Урок- решение задач	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.9 «Арифметический квадратный корень»
^ У-5. Комбинированный урок «Свойства квадратных корней»	1		Демонстрационный материал «Применение свойств арифметического квадратного корня»
^ У-6 Урок- решение задач	1	Устный счет Самостоятельная работа 3.2 «Свойства арифметического квадратного корня»	Задания для устного счета. Упр.10 «Квадратный корень из произведения и дроби»
^ У-7,8. Уроки-практикумы «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня».	2	Практическая работа
^ У-9. Урок- решение задач	1	Устный счет Самостоятельная работа 3.3 «Применение свойств арифметического квадратного корня»	Задания для устного счета. Упр.11 «Квадратный корень из степени»
У-10. Урок- решение задач	1	Тест 3 «Квадратные корни»
У-11. Урок- контрольная работа.	1	Контрольная работа №5

^ Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

 Находить в несложных случаях значения корней.

 Знать определение и свойства функции , уметь строить ее график.

 Уметь применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и простейших преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни.

Уровень возможной подготовки обучающегося

 Знать понятие арифметического квадратного корня.

 Уметь применять свойства арифметического квадратного корня при преобразованиях выражений.

 Уметь использовать свойства функции при решении практических задач.

 Иметь представление о иррациональных и действительных числах.

^ Тема 4 Квадратные уравнения (21 час)

Раздел математики. Сквозная линия

 Уравнения и неравенства

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

 Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения.

 Решение рациональных уравнений.

 Решение текстовых задач с помощью квадратных и дробных рациональных уравнений.

Программа. Контроль за ее выполнением

Программа	Кол- во час	Контроль отметки	Компьютерное обеспечение урока


^ У-1. Урок-изучение нового материала «Основные понятия».	1		Демонстрационный материал «Квадратные уравнения»
У-2. Урок-закрепление изученного.	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.12 «Квадратное уравнение и его корни»
У-3. Комбинированный урок «Формулы корней квадратного уравнения».	1	Самостоятельная работа 4.1 «Квадратное уравнение и его корни»
У-4,5. Уроки решения задач	2	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.11 «Решение квадратных уравнений»
У-6. Урок- самостоятельная работа	1	Самостоятельная работа 4.2 «Решение квадратных уравнений по формуле»
У-7. Комбинированный урок «Рациональные уравнения»	1	Практическая работа
У-8,9. Уроки решения задач	2	Самостоятельная работа 4.3 «Рациональные уравнения»
У-10,11. Уроки-практикумы «Рациональные уравнения, как математические модели реальных ситуаций».	2
У-12. Урок-решение задач	1
У-13. Урок- самостоятельная работа	1	Самостоятельная работа 4.4 «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
У-14. Комбинированный урок «Еще одна формула корней квадратного уравнения».	1
У-15. Урок- решение задач	1
У-16. Комбинированный урок «Теорема Виета».	1		Демонстрационный материал «Теорема Виета»
У-17. Урок- решение задач	1	Устный счет	Задания для устного счета. Упр.14 «Теорема Виета»
У-18. Комбинированный урок «Иррациональные уравнения»	1
У-19. Урок- решение задач	1
У-20. Урок-решение задач	1	Тест 4 «Квадратные уравнения»	CD Математика 5-11. Виртуальная лаборатория «Графики уравнений и неравенств»
У-21. Урок- контрольная работа.	1	Контрольная работа №6

^ Требования к математической подготовка

Уровень обязательной подготовки обучающегося

 Уметь решать квадратные уравнения, простые рациональные и иррациональные уравнения.

 Уметь решать несложные текстовые задачи с помощью уравнений.

Уровень возможной подготовки обучающегося

Понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики.
Уметь решать квадратные уравнения, рациональные и иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным.
Уметь применять квадратные уравнения и рациональные уравнения при решении задач.

Тема:

Урок: Преобразование рациональных выражений

1. Рациональное выражение и методика его упрощения

Вспомним сначала определение рационального выражения.

Определение. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень).

Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел (возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания.

2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей

Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений.

Пример 1.

Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т. к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить так ли это.

Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: .

Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т. к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса , называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т. к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося.

Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.

Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:

В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:

, второе выражение аналогично. Имеем:

Ответ. .

Пример 2. Упростить рациональное выражение .

Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно. Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:

Здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов.

Ответ. .

Пример 3. Упростить рациональное выражение .

Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.

Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.

Ответ.

3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями

Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.

Пример 4. Доказать тождество https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bf9d1738a99d.png" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.

Доказано.

На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование рациональных выражений.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Преобразование более сложных рациональных выражений

1. Пример на доказательство тождества с помощью преобразований рациональных выражений

На этом уроке мы рассмотрим преобразование более сложных рациональных выражений. Первый пример будет посвящён доказательству тождества.

Пример 1

Доказать тождество: .

Доказательство:

В первую очередь при преобразовании рациональных выражений необходимо определиться с порядком действий. Напомним, что в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а затем уже сложение и вычитание. Поэтому в данном примере порядок действий будет таким: сначала выполним действие в первых скобках, затем во вторых скобках, затем поделим полученные результаты, а затем к полученному выражению добавим дробь. В результате этих действий, а также упрощения, должно получиться выражение .