Betrachten wir den Fall eines ebenen Spannungszustandes, der für Anwendungen wichtig ist und beispielsweise in der Ebene realisiert ist Oyz. Der Spannungstensor hat in diesem Fall die Form

Die geometrische Darstellung ist in Abb.1 dargestellt. Gleichzeitig sind die Seiten x= const sind Hauptspannungen mit entsprechenden Null-Hauptspannungen. Die Spannungstensorinvarianten sind , und die charakteristische Gleichung nimmt die Form an

Die Wurzeln dieser Gleichung sind

Die Nummerierung der Wurzeln erfolgt fallbezogen

Abb.1. Anfänglicher ebener Spannungszustand.

Abb.2. Lage der Hauptspannungen

Eine beliebige Stelle ist in Abb. durch einen Winkel gekennzeichnet. 1, während der Vektor P hat Komponenten: , , n x \u003d 0. Normal- und Schubspannungen an einer geneigten Stelle werden wie folgt als Winkel ausgedrückt:

Die kleinste positive Wurzel von Gleichung (4) wird mit bezeichnet. Da tg( X)periodische Funktion mit Periode , dann haben wir zwei zueinander orthogonale Richtungen, die die Winkel und bilden mit Achse OU. Diese Richtungen entsprechen zueinander senkrechten Hauptflächen (Abb. 2).

Wenn wir Beziehung (2) nach differenzieren und die Ableitung mit Null gleichsetzen, gelangen wir zu Gleichung (4), die beweist, dass die Hauptspannungen extrem sind.

Um die Ausrichtung der Bereiche mit extremen Scherspannungen zu ermitteln, setzen wir die Ableitung des Ausdrucks auf Null

von wo wir kommen

Wenn wir die Beziehungen (4) und (5) vergleichen, finden wir das

Diese Gleichheit ist möglich, wenn sich die Winkel und um den Winkel unterscheiden. Folglich weichen die Richtungen der Standorte mit extremen Schubspannungen um einen Winkel von den Richtungen der Hauptstandorte ab (Abb. 3).

Abb. 3. Extreme Scherbeanspruchung

Die Werte extremer Scherspannungen erhält man nach Einsetzen von (5) in Beziehung (3) unter Verwendung der Formeln

.

Nach einigen Transformationen erhalten wir

Wenn wir diesen Ausdruck mit den zuvor erhaltenen Werten der Hauptspannungen (2.21) vergleichen, drücken wir die extremen Scherspannungen als Hauptspannungen aus

Eine ähnliche Substitution in (2) führt zu einem Ausdruck für Normalspannungen auf Flächen mit

Die ermittelten Zusammenhänge ermöglichen die Durchführung einer richtungsorientierten Festigkeitsanalyse von Bauwerken bei ebenem Spannungszustand.

Dehnungsspanner

Betrachten wir zunächst den Fall der ebenen Verformung (Abb. 4). Lassen Sie das flache Element MNPQ bewegt sich innerhalb der Ebene und verformt sich (ändert Form und Größe). Die Koordinaten der Punkte des Elements vor und nach der Verformung sind in der Abbildung markiert.

Abb.4. Flache Verformung.

Per Definition relative lineare Dehnung an einem Punkt M in Achsrichtung Oh ist gleich

Aus Abb. 4 folgt

Angesichts dessen MN=dx, wir bekommen

Bei kleinen Verformungen, wann , , wir können die quadratischen Terme vernachlässigen. Unter Berücksichtigung des ungefähren Verhältnisses

Messe bei X<<1, окончательно для малой деформации получим

Die Winkelverformung ist definiert als die Summe der Winkel und (4). Bei kleinen Verformungen

Für die Winkelverformung haben wir

Wenn wir ähnliche Berechnungen im allgemeinen Fall der dreidimensionalen Verformung durchführen, haben wir neun Beziehungen

Dieser Tensor bestimmt vollständig den deformierten Zustand des Festkörpers. Er hat die gleichen Eigenschaften wie der Spannungstensor. Die Eigenschaft der Symmetrie folgt direkt aus der Definition von Winkelverformungen. Die Hauptwerte und Hauptrichtungen sowie die Extremwerte der Winkeldehnungen und ihre entsprechenden Richtungen werden mit den gleichen Methoden wie beim Spannungstensor ermittelt.

Die Dehnungstensor-Invarianten werden durch analoge Formeln definiert, und die erste Invariante des kleinen Dehnungstensors hat eine klare physikalische Bedeutung. Vor der Verformung ist sein Volumen gleich dV 0 =dxdydz. Wenn wir die Scherverformungen vernachlässigen, die die Form und nicht das Volumen verändern, dann werden die Rippen nach der Verformung Abmessungen haben

(Abb. 4), und sein Volumen wird gleich sein

Relative Lautstärkeänderung

innerhalb kleiner Verformungen wird es sein

was mit der Definition der ersten Invariante übereinstimmt. Offensichtlich ist die Volumenänderung eine physikalische Größe, die nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängt.

Ebenso wie der Spannungstensor lässt sich der Dehnungstensor in einen sphärischen Tensor und einen Deviator zerlegen. In diesem Fall ist die erste Invariante des Deviators gleich Null, d.h. Der Deviator charakterisiert die Verformung des Körpers, ohne sein Volumen zu verändern.

Bei einem ebenen Spannungszustand in einem der durch den betrachteten Punkt verlaufenden Flächen sind Tangential- und Normalspannung gleich Null. Wir kombinieren diese Fläche mit der Zeichenebene und wählen aus dem Körper in der Nähe dieses Punktes ein unendlich kleines (elementares) dreieckiges Prisma aus, dessen Seitenflächen senkrecht zur Zeichenebene stehen und dessen Höhe (in der Richtung senkrecht zur Zeichenebene) gleich der Grundfläche des Prismas sind, handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke (Abb. 2.3a).

Wenden wir auf das ausgewählte Prisma die gleichen Spannungen an, die auf es einwirkten, bevor es vom Körper gelöst wurde. Aufgrund der Tatsache, dass alle Abmessungen des ausgewählten Prismas unendlich klein sind, können die Tangential- und Normalspannungen entlang seiner Seitenflächen als gleichmäßig verteilt und gleich den Spannungen in den parallel zu seinen Flächen verlaufenden Flächen angesehen werden.

Wählen wir ein Koordinatensystem, indem wir die Achsen und y (in der Zeichenebene) an den Flächen des Prismas ausrichten (Abb. 2.3, a). Bezeichnen wir die Spannungen parallel zur u-Achse – der y-Achse.

Bezeichnet werden Normalspannungen entlang der Seitenfläche eines Prismas, die in einem Winkel a zur Fläche geneigt ist, auf die die Spannungen wirken

Wir akzeptieren die folgende Vorzeichenregel. Die Zugnormalspannung ist positiv, während die Druckspannung negativ ist. Die Tangentialspannung entlang der Seitenfläche des Prismas ist positiv, wenn der sie darstellende Vektor dazu neigt, das Prisma im Uhrzeigersinn relativ zu jedem Punkt zu drehen, der auf der Innennormalen dieser Fläche liegt. Der Winkel a ist positiv, wenn die Fläche des Prismas (auf die die Spannung wirkt), um mit der Fläche (auf die die Spannung wirkt) zusammenzufallen, um diesen Winkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Auf Abb. 2.3, und alle Spannungen sowie der Winkel a sind positiv.

Wenn wir jede der Spannungen mit der Fläche der Fläche multiplizieren, entlang der sie wirkt, erhalten wir ein System konzentrierter Kräfte Tu und Ta, die auf die Schwerpunkte der entsprechenden Flächen wirken (Abb. 2.3, b):

Diese Kräfte müssen alle Gleichgewichtsgleichungen erfüllen, da sich das vom Körper getrennte Prisma im Gleichgewicht befindet.

Stellen wir die folgenden Gleichgewichtsgleichungen auf:

Kräfte gehen in Gleichung (4.3) nicht ein, da ihre Wirkungslinien durch einen Punkt (den Ursprung des Koordinatensystems) verlaufen.

Wenn wir die Ausdrücke und Ty aus Gleichungen (1.3) in Gleichung (4.3) einsetzen, erhalten wir

Folglich sind Schubspannungen entlang zweier zueinander senkrechter Flächen betragsmäßig gleich und haben entgegengesetztes Vorzeichen. Diese Beziehung wird als Gesetz der Scherspannungspaarung bezeichnet.

Aus dem Gesetz der Schubspannungspaarung folgt, dass in zwei zueinander senkrechten Bereichen Schubspannungen entweder auf die Schnittlinie dieser Bereiche gerichtet sind (Abb. 3.3, a) oder von dieser weg (Abb. 3.3, b).

Ersetzen wir in die Gleichungen (2.3) und (3.3) die Kräfteausdrücke aus den Gleichungen (1.3):

Wir reduzieren diese Gleichungen um und berücksichtigen dabei Folgendes (siehe Abb. 2.3, a):

Ersetzen wir es nun durch [vgl. Formel (5.3)]:

Die Formeln (6.3) und (7.3) ermöglichen die Bestimmung der Werte von Normal- und Schubspannungen in beliebigen durch einen gegebenen Punkt verlaufenden Flächen, wenn die Spannungen in zwei zueinander senkrechten durch ihn verlaufenden Flächen bekannt sind.

Wir ermitteln nach Formel (6.3) die Summe der Normalspannungen in zwei zueinander senkrechten Flächen, von denen für die eine der Winkel a gleich ist und für die andere

d.h. die Summe der Normalspannungen in zwei zueinander senkrechten Flächen ist ein konstanter Wert. Wenn also in einem dieser Bereiche die Normalspannungen einen Maximalwert haben, haben sie in dem anderen einen Minimalwert.

Bei der Untersuchung des Spannungszustandes werden zunächst die Spannungen anhand von drei zueinander senkrechten Flächen bestimmt, die durch den betrachteten Punkt des Körpers verlaufen.

Ist einer dieser Bereiche spannungsfrei, dann ist der Spannungszustand flach. Ein unendlich kleines Element in Form eines Parallelepipeds, das durch die angegebenen drei Bereiche und drei weitere parallel dazu verlaufende Bereiche vom Körper getrennt ist, ist in Abb. dargestellt. 4.3, S. Es ist üblich, es als Rechteck (oder Quadrat) darzustellen, bei dem es sich um eine Projektion des Elements auf eine Ebene handelt, die mit einer spannungsfreien Fläche zusammenfällt (Abb. 4.3, b). Es reicht aus, die Spannungswerte an zwei zueinander senkrechten Seitenflächen des Parallelepipeds anzugeben.

Wenn es erforderlich ist, die auftretenden Spannungen nicht in einem Paar zueinander senkrechter Flächen, die durch einen bestimmten Punkt verlaufen, sondern in mehreren darzustellen, können die entsprechenden Rechtecke (oder Quadrate) dargestellt werden, wie beispielsweise in Abb. 4.3, c.

Aus den Spannungen in zwei zueinander senkrechten Flächen kann man mit Hilfe der Formeln (6.3) und (7.3) die Spannungen in beliebigen Flächen berechnen; Daher kann die Abbildung (z. B. 4.3, b, c), die diese Spannungen zeigt, als Abbild des Spannungszustands an einem Punkt betrachtet werden.

Jeder Spannungszustand kann als Summe mehrerer Spannungszustände betrachtet werden (Prinzip der Spannungsüberlagerung). Beispielsweise ist der Spannungszustand in Abb. 5.3, a, kann als Summe der in Abb. 5.3 dargestellten Spannungszustände betrachtet werden. 5.3, b, c.

Die Wirkung des weggeworfenen Teils auf das in der Nähe von Punkt B verbleibende Teil wird durch Spannungen dargestellt. Denken Sie daran, dass der erste Index für Scherspannungen der Achse entspricht, die normal zum Abschnitt der zweiten Achse ist, parallel zu der die Scherspannung gerichtet ist. Spannungen in geneigten Abschnitten Stellen wir uns die Aufgabe: Bestimmen Sie die Spannungen in einem beliebigen Abschnitt, der durch einen bestimmten Punkt B der Platte verläuft.

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Ebener Spannungszustand

gestresster Zustand, wenn Normalspannungen sowohl in Richtung der X-Achse als auch der Achse auftreten Y (z. B. bei dünnwandigen, mit Außendruck belasteten Gefäßen). Und zwar in Abschnitten senkrecht zu den Achsen X und Y Schubspannungen wirken (in Balken beim Biegen) heißtebener (biaxialer) Spannungszustand.

Lassen Sie uns zeigen, dass sich beispielsweise eine Platte (oder Platte) beliebiger Form mit einer im Vergleich zu anderen Abmessungen geringen Dicke in einem ebenen Spannungszustand befindet. Jedes gegeneinander ausgeglichene System äußerer Kräfte wirkt entlang der Plattenkontur, gleichmäßig über die Dicke verteilt und parallel zur Mittelschicht. Aufgrund der Kleinheit kann die Spannungsänderung in Richtung senkrecht zu den Außenebenen der Platte vernachlässigt werden. Gleichzeitig, weil Es gibt keine äußeren Kräfte auf den äußeren Ebenen, dann sind alle Elementarflächen dieser Flächen von Kräften und Spannungen gleich Null und daher gleich Null, und zwar für alle Abschnitte parallel zu diesen Flächen. Diese Abschnitte sind Hauptspannungen, daher ist im betrachteten Fall eine der Hauptspannungen gleich Null.

Wir beziehen den Körper auf die Koordinatenachsen XOY liegt in der Ebene der Mittelschicht. Schneiden Sie im Geiste die Plattenabschnitte (Platten) aus I und II , senkrecht zu den Achsen X und Y . Die Wirkung des abgeworfenen Teils auf den Rest in der Nähe des Punktes B wird durch Spannungen dargestellt (denken Sie daran, dass der erste Index für Scherspannungen der Achse normal zum Abschnitt entspricht, der zweite der Achse parallel, zu der die Scherspannung gerichtet ist). Im allgemeinen Fall wird also in der Nähe eines beliebigen Punktes der Platte ein ebener Spannungszustand erzeugt, in dem

Spannungen in geneigten Abschnitten

Stellen wir uns die Aufgabe: Bestimmen Sie die Spannungen in einem beliebigen Abschnitt, der durch einen bestimmten Punkt verläuft B-Platten.

Dazu schneiden wir III unendlich nah an einem Punkt B . Die Gesamtspannung in diesem Abschnitt kann als gleich der Gesamtspannung in dem durch den Punkt verlaufenden Abschnitt betrachtet werden B. Die Position des Abschnitts wird durch den Winkel bestimmt, den er mit der Achse bildet X ist die Normale von N zum Abschnitt.

Wählen Sie im Geiste eine dreieckige Platte aus der Platte aus BCD im Gleichgewicht, wie der Rest des Körpers. Aufgrund der unendlich kleinen Abmessungen der Platte gehen wir davon aus, dass die Spannungen gleichmäßig über die Flächen verteilt sind. Dann kann die Resultierende der auf jede Seite der Platte wirkenden Kräfte als Produkt der Spannung und der Fläche der entsprechenden Seite berechnet und auf den Schwerpunkt der Seite angewendet werden. Wir platzieren den Koordinatenursprung am Punkt – dem Schwerpunkt des Gesichts CD.

Wir gehen davon aus, dass die Spannungen bekannt sind. Finden wir die Komponenten der Gesamtspannung S entlang der Koordinatenachsen sowie Normal- und Schubspannungen auf der Fläche CD . Wir stellen die Gleichgewichtsgleichungen auf:

1. Die Summe der Momente um einen Punkt

Nach der Reduktion erhalten wir

(1)

Dieses Ergebnis drückt die Gleichgewichtsbedingung der Tangentialkräfte in zueinander senkrechten Abschnitten in unmittelbarer Nähe eines rechten Winkels aus. Tangentialspannungen haben gleiche Module und sind auf den Scheitelpunkt des rechten Winkels gerichtet (oder vom Scheitelpunkt weg, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind). (siehe Abbildung).

Bezeichnen Sie dann, wo, - Richtungskosinus.

Projektionsgleichungen

Nach der Verkürzung auf A

(2)

Finden Sie die Normal- und Tangentialkomponenten der Gesamtspannung

Wenn man das bedenkt, bekommen wir

(3)

Es kann gezeigt werden, dass:

• - in zueinander senkrechten Abschnitten ist die Summe der Normalspannungen konstant und die Moduli der Schubspannungen sind gleich;
• - In parallelen Abschnitten sind Normal- und Schubspannungen in Größe und Vorzeichen gleich.

Zeichenregeln:

• positiv:

Normalspannungen, wenn Zugspannungen;

Tangentialspannungen, wenn sie Elementrotationen erzeugen BCD relativ zu einem Punkt darin gegen den Uhrzeigersinn und im Uhrzeigersinn.

Hauptbetonungen und Abschnitte

Abschnitte werden als Hauptabschnitte bezeichnet, wenn:

• Normalspannungen erreichen extreme Werte;
• Schubspannungen fehlen (gleich Null).

Dabei spielt es keine Rolle, welches der Zeichen verwendet wird, eines davon kann immer als Konsequenz des anderen dargestellt werden.

Bestimmen wir die Position der Hauptabschnitte nach dem zweiten Kriterium unter der Annahme, dass der Abschnitt CD die Hauptsache, d.h. , und folglich

, (A)

Wenn wir (a) in (2) einsetzen, erhalten wir

(4)

Hier - bestimmen Sie die Position der Kante CD wenn es zum Hauptteil wird. System (4) in Bezug auf Unbekannte ist homogen und hat nur dann eine Lösung ungleich Null, wenn die Determinante von System (4) gleich Null ist (Satz von Rouche), d. h.

(5)

Erweitert und nach Transformationen

(6)

Durch Lösen der quadratischen Gleichung ermitteln wir die Module der Hauptspannungen

Wo

(7)

Beide Wurzeln (7) von Gleichung (6) sind reell und geben die Werte von zwei Hauptspannungen an, und die dritte ist, wie bereits erwähnt, im ebenen Fall des Spannungszustands gleich Null. Wenn also, dann erhalten wir gemäß der Bedingung, .

Hauptspannungen und, d.h. Die Wurzeln der Gleichung (6) werden durch die Art des Spannungszustands bestimmt und hängen nicht davon ab, welches Koordinatensystem als Ausgangssystem verwendet wurde. Daher beim Drehen der Achsen X, Y Koeffizienten und Gleichungen (6) müssen unverändert bleiben (was). Daher werden sie Spannungszustandsinvarianten genannt.

Finden wir die Richtung der Hauptspannungen oder - die Richtungskosinusse, die die Position der Hauptabschnitte bestimmen, unter Annahme und Berechnung aus den Ausdrücken (7).

Dafür gibt es ein Gleichungssystem (5), das jedoch homogen ist und dessen von Null verschiedene Wurzeln nicht bestimmt werden können. Aus dem Studium der Trigonometrie ist es bekannt

(8)

(V)

dann erhalten wir ein inhomogenes und bestimmtes Gleichungssystem (8) und (c), dessen Lösung wir die Position der Hauptabschnitte ermitteln.

Wenn wir in (c) einsetzen, haben wir zunächst

(Mit)

Kosinus der Winkel, die mit den Koordinatenachsen eingehen X und Y normal zum ersten Hauptabschnitt, bei dem es sich um die gleichen Hauptspannungen handelt.

Durch Lösen des Gleichungssystems (c) erhalten wir

(9)

Auf die gleiche Weise ersetzt man in (in)

(10)

In (9) und (10) - Winkel gemessen durch Drehung gegen den Uhrzeigersinn von der Achse X zu den Normalen der Abschnitte, in denen die Hauptspannungen bzw. wirken.

Legen Sie die Position der Hauptabschnitte zueinander fest. Dazu multiplizieren wir Term für Term die Gleichungen (9) und (10).

(D)

Beim Einsetzen in ( D ) Werte und aus (7) kommen wir nach Transformationen zum folgenden Ausdruck

(e)

Weil , dann kannst du schreiben. Meinen

Daraus folgt, dass die Hauptschnitte senkrecht zueinander stehen, während und (9), (10 )

Beachten Sie, dass wir durch Addition beider Zeilen der Formel (7) Folgendes erhalten:in zueinander senkrechten Abschnitten ist die Summe der Normalspannungen konstant.

Große Verformungen

Definieren wir Verformungen in Richtung der Hauptspannungen. Dazu wählen wir gedanklich ein rechteckiges Element aus einem Körper im ebenen Spannungszustand aus, dessen Flächen parallel zu den Hauptabschnitten liegen. Weil Auf die Flächen wirken nur Normalspannungen, dann fällt die Richtung der Hauptspannungen mit den Verformungen, den sogenannten Hauptspannungen, zusammen. Unter Verwendung der Formeln des verallgemeinerten Hookeschen Gesetzes und unter der Annahme erhalten wir:

(11)

Extreme Scherbeanspruchungen

Wir gehen davon aus, dass es sich um Kanten handelt BC und BD dreieckige Platte BCD Hauptspannungen und Dann nehmen die Ausdrücke (3) die Form an

(k)

(M)

Wir untersuchen die Funktion ( M ) zu einem Extremum, basierend auf der Existenzbedingung. Differenzieren ( m ) von.

Im Allgemeinen gilt daher ( S ).

Das Vorzeichen at wird gesetzt, um die Wurzeln der Gleichung zu unterscheiden ( S ), die die Position der Abschnitte bestimmen, in denen Extremwerte erreicht werden, aus den Wurzeln der Gleichungen (9), (10), die die Position der Hauptabschnitte bestimmen.

Gleichung (s ) innerhalb hat zwei Wurzeln, die sich durch und voneinander unterscheiden und aus denen wir erhalten.

Das. Abschnitte, in denen die Schubspannungen den höchsten Absolutwert erreichen, liegen in einem Winkel zu den Hauptabschnitten. Auch diese Abschnitte stehen senkrecht zueinander.

Für und der Ausdruck (k 0 hat die Form

(12)

In den gleichen Abschnitten

oder (13)

In der Abbildung und im Folgenden werden die Winkel von der Achse (2 oder 3) gemessen, deren Richtung mit der kleinsten der Hauptspannungen (oder) zusammenfällt. Dann liegt gemäß dem Vorstehenden die Normale des Abschnitts c in einem Winkel zu dieser Achse, und c steht in einem Winkel. An den Rändern der Platte A B C D Zusätzlich zu den Schubspannungen kann es auch normale Spannungen geben, die durch die Formel (13) bestimmt werden. Beachten Sie, dass dieser immer größer als Null ist und daher eine Richtung hat, in der eine Drehung des Elements erzeugt werden soll A B C D relativ zu jedem Punkt darin gegen den Uhrzeigersinn, -im Uhrzeigersinn. Im allgemeinen Fall eines ebenen Spannungszustandes, bei dem nicht die Hauptspannungen angegeben sind, sondern die Module der Extremspannungen durch die Formel bestimmt werden können

(14)

die durch Einsetzen von (7) in (12) erhalten werden.

Spezifische potentielle Energie

Bei Zug (Druck) wirken äußere Kräfte durch die Verschiebung ihrer Angriffspunkte und bewirken eine Verformung des Materials. Bei der Verformung wirken auch innere elastische Kräfte. Es ist bekannt, dass die von einem Körper während der Verformung akkumulierte Energie als potentielle Verformungsenergie bezeichnet wird und der Wert dieser Energie, bezogen auf eine Volumeneinheit des Materials, als spezifische potentielle Energie bezeichnet wird. Bei zentraler Spannung (Kompression) wurde aus dem Ausdruck berechnet. In einem ebenen Spannungszustand ergibt sich die spezifische potentielle Verformungsenergie als Summe zweier Terme

Weil und dann

(15)

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Ebener Spannungszustand (σz = 0; 0)

Eine flache Platte wird in ihrer Ebene belastet (Abb. 2.13, a). Seine Dicke δ ist im Vergleich zu den Abmessungen a und c sehr gering. Wenn Sie an einem beliebigen Punkt der Platte ein Element mit den Abmessungen dx, dy und δ auswählen, treten auf seinen Flächen Spannungen σ x, σ y, τ xy und τ yx auf (Abb. 2.13, b).

An den Seitenflächen dieses Elements treten keine Spannungen auf: σ z = 0; τzx =0; τ zy = 0, und wir haben einen ebenen Spannungszustand des Körpers, das heißt, zwei parallele Flächen eines infinitesimalen Elements, isoliert an jedem Punkt des Körpers, sind spannungsfrei. Die Spannungen σ x, σ y , τ xy und τ yx sind gleichmäßig über die Plattendicke verteilt.

Abbildung 2.13 – Schema zur Bestimmung des ebenen Spannungszustandes

In einem ebenen Spannungszustand ändert sich die Dicke der Platte an jedem Punkt. Die Verformung in Richtung der Z-Achse beträgt nach dem Hookeschen Gesetz:

Die Dicke der Platte an jedem Punkt aufgrund der Querverformung ändert sich um den Wert δ = z δ = - (σ x + σ y).

Ebene Verformung( z = 0; σ z 0)

Wir haben einen sehr langen zylindrischen Körper, der über die gesamte Länge gleichmäßig belastet ist (Abb. 2.14, a). Lassen Sie uns diesen Körper gedanklich in einzelne Schichten mit der Dicke δ=1 zerlegen. Wenn diese Schichten einen ebenen Spannungszustand erfahren würden, würde sich die Dicke an jedem Punkt der Platte um Δδ ändern. Aufgrund des Widerstands benachbarter Schichten ist dies jedoch unmöglich, daher verformt sich jede Schicht unter den Bedingungen (Abb. 2.14, b), bei denen sie sozusagen zwischen zwei absolut festen Oberflächen eingeklemmt ist und so Bedingungen schafft für die Invariabilität der Schichtdicke

Δδ = 0. In diesem Fall erfolgt die Bewegung an allen Punkten des Körpers nur in parallelen XY-Ebenen (siehe Abb. 2.14, b). Da es keine Verschiebungen W, U, V relativ zur Z-Achse gibt, gilt:

Abbildung 2.14 – Schema zur Bestimmung der ebenen Dehnung

Dies ist die ebene Verformung. Nach dem Hookeschen Gesetz gilt:

Z = (σ z – μσ x – μσ y) / E = 0 .

An Stellen, an denen die Platte verdickt sein sollte, treten Druckspannungen σ z auf, und an Stellen möglicher Verdünnung - Zugspannungen σ z (Abb. 2.14, c) In beiden Fällen

Wenn alle Spannungsvektoren parallel zur gleichen Ebene liegen, wird der Spannungszustand als flach bezeichnet (Abb. 1). Ansonsten gilt: Der Spannungszustand ist flach, wenn eine der drei Hauptspannungen Null ist.

Bild 1.

Ein ebener Spannungszustand entsteht in einer Platte, die entlang ihrer Kontur mit Kräften belastet wird, deren Resultierende in ihrer Mittelebene liegen (die Mittelebene ist eine Ebene, die die Plattendicke in zwei Hälften teilt).

Spannungsrichtungen in Abb. 1 werden als positiv gewertet. Der Winkel α ist positiv, wenn er von der x-Achse zur y-Achse aufgetragen wird. Auf der Seite mit normalem n:

Die Normalspannung σ n ist positiv, wenn es sich um eine Zugspannung handelt. Die positive Spannung ist in Abb. dargestellt. 1. Die Vorzeichenregel für nach Formel (1) ist die gleiche wie für Spannungen nach Formel (1).

Für geneigte Flächen gilt die hier angegebene Vorzeichenregel. Im Artikel „Volumenspannungszustand“ Für Spannungskomponenten in einem Punkt, also für Spannungen auf Flächen senkrecht zu den Koordinatenachsen, wurde eine Vorzeichenregel formuliert. Diese Vorzeichenregel wird in der Elastizitätstheorie übernommen.

Hauptspannungen auf Flächen senkrecht zur Spannungsebene:

(Da hier nur zwei Hauptspannungen betrachtet werden, werden sie mit σ 1 und σ 2 bezeichnet, obwohl sich herausstellen kann, dass σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Diese Spannungen wirken auf Stellen, die in einem Winkel von 45° zur ersten und zweiten Hauptstelle liegen.

Wenn die Hauptspannungen σ 1 und σ 2 das gleiche Vorzeichen haben, wirkt die größte Schubspannung an der Stelle, die in einem Winkel von 45° zur Spannungsebene (xy-Ebene) liegt. In diesem Fall:

In der Balkenwand (hier meinen wir einen gewöhnlichen Balken, nicht eine Balkenwand) entsteht, wenn sie durch Kräfte gebogen wird, ein Sonderfall eines ebenen Spannungszustands. In den Balkenwänden ist eine der Normalspannungen σ y gleich Null. In diesem Fall werden die Spannungen durch die Formeln (1), (2) und (4) erhalten, wenn wir in diese Formeln σ y =0 einsetzen. Die Position der ersten Hauptplattform wird durch Formel (3) bestimmt.

DEHNUNG IN ZWEI RICHTUNGEN(Figur 2).